Трудни граници на функции

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.

[Добромир Глухаров]

$\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(\sqrt{4x+1}-3)(\sqrt{4x+1}+3)}{(x+1)(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}=\\=\lim_{x\to2}\frac{4x+1-9}{(x+1)(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}=\lim_{x\to2}\frac{4\cancel{(x-2)}}{(x+1)\cancel{(x-2)}(\sqrt{4x+1}+3)}=\\=\frac{4}{(2+1)(\sqrt{9}+3)}=\frac{2.\cancel{2}}{3.\cancel{2}.3}=\frac{2}{9}$

[Добромир Глухаров]

$\lim_{n\to\infty}\frac{n+7}{\sqrt{n^2-3n+4}}$

Делим едновременно числителя и знаменателя на $n$. Това означава, че израза под корена делим на $n^2$.

$\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{7}{n}}{\sqrt{1-\frac{3}{n}+\frac{4}{n^2}}}=$

$=\frac{1+0}{\sqrt{1-0+0}}=1$,

понеже $\frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n^2}$ клонят към $0$ при $n\to\infty$.

[Knowledge Greedy]

За разнообразие третата да решим с правилото на Маркиз Дьо Лопитал, вместо да рационализираме.
3.) [tex]\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{3-x}-1}{\sqrt{6-x}-2}=\lim_{x \to 2}\frac{\left ( \sqrt{3-x}-1 \right )'}{\left ( \sqrt{6-x}-2 \right )'}=\lim_{x \to 2}\frac{\frac{-1}{2\sqrt{3-x}}}{\frac{-1}{2\sqrt{6-x}}}=\lim_{x \to 2}\frac{ \sqrt{6-x}}{ \sqrt{3-x}}=\frac{2}{1}=2[/tex]

4.) В тази задача ефектът е още по-бърз
[tex]\lim_{x \to }\frac{\sqrt{x^2-7}-3}{x-4}=\lim_{x \to 4}\frac{\frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{x^2-7}}}{1}=\frac{4}{3}[/tex]

[emil3993]

Благодаря.