Параметрична задача

[ludiqtmat]

Да се намерят стойностите на реалния параметъра "a" за които уравнението [tex]x^{2} + a*x - log2 (3*2^{a^{2}} - 2) = 0[/tex] има реални корени [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex], такива че [tex]x_{1 } < a < x_{2 }[/tex] .

[123a]

Тук трябва да знаеш теорията за разположението на корените на квадратно уравнение. За да е дадено число между корените на кв. ур-е трябва да е изпълнено условието $a.f(t)<0$, където а е числото пред старшия коефициент на квадратното уравнение, а t е самото число, което трябва да е между корените. В твоя случай трябва да решиш неравенството $1.f(a)<0$ или просто $f(a)<0$

[Knowledge Greedy]

Да се намерят стойностите на реалния параметъра [tex]a[/tex] за които уравнението [tex]x^{2} + ax - log_2 (3.2^{a^{2}} - 2) = 0[/tex]
има реални корени [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] , такива че [tex]x_{1 } < a < x_{2 }[/tex].

Започваме с дефиниционно множество за параметъра [tex]a[/tex].
[tex]3.2^{a^{2}} - 2>0 \,\ \Leftrightarrow \,\ 2^{a^{2}}>\frac{2}{3} \,\ \Leftrightarrow \,\ a^{2}>log_2\frac{2}{3} \,\ \Rightarrow a\in (-\infty; -1+log_23)\cup (1-log_23; +\infty)[/tex]

Ще използваме известната теорема за разположението на дадено число [tex]\lambda[/tex] между корените на квадратния тричлен [tex]f(x)[/tex] (със старши коефициент A):
[tex]Af(\lambda )<0[/tex] [tex]( \ast)[/tex]
В случая [tex]A=1; \,\ \lambda =a[/tex].

[tex]( \ast) \,\ \Leftrightarrow \,\ a^2+a.a- log_2 (3.2^{a^{2}} - 2)<0[/tex]
Равносилно е на [tex]2a^2< log_2 (3.2^{a^{2}} - 2) \,\ \Leftrightarrow \,\ log_2 \left (2^{ 2a^2} \right )< log_2 (3.2^{a^{2}} - 2)[/tex]
Антилогаритмуваме [tex]2^{ 2a^2} < 3.2^{a^{2}} - 2[/tex]
представяме
[tex]\left (2^{a^2} \right )^2-3.\left (2^{a^2} \right ) - 2<0[/tex]
разлагаме
[tex]\left ( 2^{a^2}+1 \right ) \left (2^{a^2}-3 \right )<0[/tex]
и тъй като първият множител е винаги положителен, то [tex]2^{a^2}<3[/tex]
Оттук [tex]{a^2}<log_23 \,\ \Leftrightarrow \,\ |a|< \sqrt{log_23}[/tex]

Засичаме последния резултат
[tex]- \sqrt{log_23}<a< \sqrt{log_23}[/tex]
с дефиниционното множество и намираме за параметъра, че
няма такова [tex]a[/tex]
- защото
[tex]- \sqrt{log_23}> -1+log_23[/tex]

[123a]

Knowledge Greedy , объркали сте неравенството след логаритмуването.

Трябва да е $2^{2a^2}-3.2^{a^2}+2<0$

От тук след полагане, решаване на неравенството и връщане към полагането се получава, че $a\in(-1;0)\cup(0;1)$

[Knowledge Greedy]

Благодаря!

[ludiqtmat]

Благодаря ви !