ЗАДАЧА ОТ ТУ №13 СТЕРЕОМЕТРИЯ

[mmikovxy98]

В триъгълна пирамида две от околните стени са еднакви правоъгълни равнобедрени триъгълници, а хипотенузите им имат дължина [tex]\alpha[/tex] и сключват помежду си ъгъл с големина 60 [tex]^\circ[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата.

[mmikovxy98]

Ако може чертеж или подробно решение>?? --- Благодаряя !

[Nathi123]

Нека пирамидата е ABCD и триъг. АВС е правоъгълен равнобедрен и стената ABD -също, АВ - обща хипотенуза за двата триъг. Построяваме СН [tex]\bot AB\Rightarrow AH=BH=CH=\frac{a}{2}; DH\bot AB ; DH=\frac{a}{2}; \angle CHD=\angle ( (ABC),( ABD)) = 60^\circ[/tex].
Построяваме DL[tex]\bot (ABC)\Rightarrow L\in CH ( AD=BD\Rightarrow AL=BL;[/tex] и СН - симетрала на АВ).
[tex]\Rightarrow V_{ABCD }=\frac{1}{3}.S_{\Delta ABC }.DL; S_{\Delta ABC }=\frac{1}{2}AB.CH=\frac{a^{2}}{4} ; \Delta DLH\Rightarrow \frac{DL}{DH}=sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow[/tex]
[tex]DL = \frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{48} .[/tex]

[Nathi123]

При първото решение взех една от двете околни стени( които са еднакви правоъг. равноб.триъг. с обща хипотенуза) за основа на пирамидата.
ІІ.-ри начин Нека пирамидата е ABCD с основа триъг. АВС и [tex]\Delta ABD \cong \Delta BCD ; AB=BC=CD; \angle DCB=\angle DAB=90^\circ.[/tex]
Построявам АН[tex]\bot BD\Rightarrow CH\bot BD; AH=CH=\frac{a}{2} ; \angle ((ABD),(BCD)=\angle AHC=60^\circ \Rightarrow[/tex]
от[tex]\Delta ACH \Rightarrow AC=AH=CH=\frac{a}{2}; (ACH) \bot BD.[/tex]
Тогава обемът на ABCD e сбор от обемите на ACHD и ACHB. Двете пирамиди имат равни обеми ,защото имат обща основа и равни височини,а именно:
DH=BH=[tex]\frac{a}{2}\Rightarrow V_{ABCD }=2V_{ACHD}[/tex]
[tex]V_{ACHD} = \frac{S_{ACH }.DH}{3}; AC=AH=CH=\frac{a}{2}\Rightarrow S_{ACH }=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}\Rightarrow V_{ACHD} =\frac{a^{3}\sqrt{3}}{96}\Rightarrow[/tex]
[tex]V_{ABCD }=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}.[/tex]

[ptj]

Триъгълника съдържащ двете хипотенузи е равностранен, а останалите три ръба също са равни помежду си. Т.е. пирамидата е правилна и съответно ъглите при 4-тия връх са прави.

[tex]V=\frac{1}{6}\bigg(\frac{\alpha }{\sqrt{2}}\bigg)^3=\frac{\alpha ^3\sqrt{2}}{24}[/tex]

[mmikovxy98]

Триъгълника съдържащ двете хипотенузи е равностранен, а останалите три ръба също са равни помежду си. Т.е. пирамидата е правилна и съответно ъглите при 4-тия връх са прави.

[tex]V=\frac{1}{6}\bigg(\frac{\alpha }{\sqrt{2}}\bigg)^3=\frac{\alpha ^3\sqrt{2}}{24}[/tex]

Благодаря ти, но дали ще може малко по подробно решение ?

[Nathi123]

Ако пирамидата беше правилна трябва да има връх от който излизат три равни ( околни ръба), а такъв връх няма .

[Nathi123]

В случая за дадената пирамида не може да се използва формулата за обем V=[tex]\frac{abc}{6}[/tex] ,където a,b,c са дължини на три ръба на пирамидата излизащи от един и същи връх на пирамидата и правите които се определят от тези ръбове са 2 по 2 взаимно перпендикулярни. При дадената пирамида няма такива ръбове.
Чертеж с прикачен файл.

STZad.PDF

(177.22 KiB) 86 пъти

[ptj]

Триъгълника съдържащ двете хипотенузи е равностранен, а останалите три ръба също са равни помежду си. Т.е. пирамидата е правилна и съответно ъглите при 4-тия връх са прави.

[tex]V=\frac{1}{6}\bigg(\frac{\alpha }{\sqrt{2}}\bigg)^3=\frac{\alpha ^3\sqrt{2}}{24}[/tex]

Нека околните стени, явяващи се равнобедрени правоъгълни триъгълници са [tex]ADB[/tex] и [tex]ADC[/tex] . Тогава [tex]BD=AD=CD\Rightarrow AB=АС[/tex].
Триъгълник [tex]АBC[/tex] е равнобедрен с ъгъл [tex]60^\circ[/tex] сл. е равностранен.

[tex]2AD^2=AD^2+BD^2=AB^2=\alpha ^2 \Rightarrow AD=\frac{\alpha }{\sqrt{2}}[/tex]

[ptj]

В случая за дадената пирамида не може да се използва формулата за обем V=[tex]\frac{abc}{6}[/tex] ,където a,b,c са дължини на три ръба на пирамидата излизащи от един и същи връх на пирамидата и правите които се определят от тези ръбове са 2 по 2 взаимно перпендикулярни. При дадената пирамида няма такива ръбове.
Чертеж с прикачен файл.

STZad.PDF

Прочети внимателно условието. Казано е "хипотенузи", а не "обща хипотенуза".