ЗАДАЧА ОТ ТУ №14 ФУНЦКИЯ

[mmikovxy98]

Да се намерят стойностите на параметъра [tex]\alpha[/tex], за които графиките на функциите y=[tex]x^{2}[/tex] - 2x - 3 и y=a[tex]x^{2}[/tex]имат точно една обща точка?

[Davids]

Приравняваш уравненията на двете функции и търсиш вариантите, в които новополученото уравнение има само един корен - една пресечна точка

[mmikovxy98]

Направих и ми се получава параметрично квадратно уравнение. Така ли трябва? Може ли да обясниш?

[Davids]

Точно това се имаше предвид. И търсиш стойностите на параметъра, за които уравнението има само един корен.
В случая се получава, приравнявайки ги:
$y = x^2 - 2x - 3 = ax^2$
$(1-a)x^2 - 2x - 3 = 0$
Ето го новото уравнение. Има два варианта, в които има един корен:
$I)$
Приравняваме коефициента пред втората степен на нула, за да стигнем до линейно уравнение с един корен.
$1-a = 0 \Rightarrow a = 1$
$\Rightarrow -2x-3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$
И това ще е единствената пресечна точка на графиките.
$II)$
Приравняваме дискриминантата на нула, за да получим отново двоен корен (т.е. само един):
$D = (-2)^2 - 4.(-3).(1-a) = 16 - 12a = 0 \Rightarrow a = \frac{4}{3}$
В този случай графиките ще се пресичат при $x = -3$, отново само в една точка.