Изследване на функция

[pressi]

Здравейте! Можете ли да ми помогнете с изследването на функцията -x^4 - 2x^2 + 3. Благодаря предварително!

[emil3993]

https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/f%5Cleft(x%5Cright)%3D-x%5E%7B4%7D%20-%202x%5E%7B2%7D%20%2B%203

[Knowledge Greedy]

Каква е целта на изследването на функция?

Да видим какво е дадено. Дадена е една формула [tex]y=-x^4-2x^3+3[/tex], по която на някакви числа [tex]x[/tex] се съпоставят други числа [tex]y[/tex].
Искаме да си представим цялата картина [tex]x\rightarrow y[/tex]
Като казваме "картина" имаме предвид не само графиката,

Графика на 4-та степен.png (11.24 KiB) Прегледано 1279 пъти

която буквално си е картина, но и нещо повече, което често пъти не може да се види на нея.

Изследването се състои от:
1. Изясняване на дефиниционното множество - там където обитава [tex]x[/tex] -ът.
Вслучая не е казано изрично в условието, затова подразбираме възможно най-голямото (което знаем - множеството [tex]\mathbb{R}[/tex] на реалните числа.
2. Корените на уравнението [tex]y=0[/tex] (поне с приближение, ако нямаме възможност за точното им указване).
Това са числата [tex]x[/tex], които в таблицата на чертежа по-горе са над нулите в реда на [tex]y[/tex]. Поради тази причина, тези числа [tex]x[/tex] (в случая [tex]x_1=-1[/tex] и [tex]x_2=1[/tex]) се наричат нули на функцията.
3. Решаваме неравенствата [tex]y>0[/tex] и [tex]y<0[/tex]. Съвкупността на решенията им се наричат интервали на запазване на знака.[tex](\ast)[/tex]
В случая при [tex]x \in (-\infty;-1)\cup (1;+\infty) \,\ \Rightarrow \,\ y<0[/tex] и в интервала [tex](-1; \,\ 1)[/tex] функцията запазва знака си положителен, т.е. [tex]y>0[/tex]. С един поглед върху чертежа се вижда, че в този интервал за [tex]x[/tex] графиката се намира над абсцисната ос, т.е. нейните точки имат координата [tex]y>0[/tex].
4. Ограниченост. Ако си представим, че при [tex]x\in (-\infty;+\infty)[/tex] листът на тетрадката ни е безкрайно широк, за неограничените функции той би трябвало да е безкрайно висок. Ако обаче графиката може да се побере в една крайна (на височина) тетрадка, то функцията е ограничена. Каквато е нашата функция отгоре. Отдолу обаче, тя картината може да бъде продължавана до безкрайност, без да обхване цялата графика. Неограничена отдолу.
5. Четност. Ако [tex]\forall x \,\ \Rightarrow \,\ (-x)=y(x)[/tex], функцията е четна - графиката ѝ е симетрична спрямо ординатната ос. На чертежа тази симетрия не може да не бъде забелязана. Както и обратното - трябва да се стараем да начертаем графиката огледално спрямо ординатната ос.
6. Периодичност. Няма такова [tex]T[/tex](положително число), че [tex]\forall x \,\ y(x+T)=y(x)[/tex] - функцията [tex]y[/tex] не е периодична, както не са периодични и всички останали полиномни функции.
7. Поведение в краищата на дефиниционните интервали.
в случая е ясно, че [tex]\lim_{x \to \pm\infty}=-\infty[/tex]
8. Асимптоти. Полиномните [tex](n\ge 2)[/tex] функции нямат асимптоти.
9. Монотонност. За това и за следващите свойства ни е необходима първата производна (за диференцируемите функции) - скоростта на изменение на функцията.
[tex]y'=-4x^3-3x[/tex]
Когато [tex]y' >0[/tex] в съответния интервал за [tex]x[/tex] казваме, че функцията е растяща (монотонно строго растяща).
[tex]y' >0 \,\ \Leftrightarrow x\in (-\infty; 0)[/tex]
В интервала [tex]x \in (0;+\infty) \,\ \Leftrightarrow \,\ y'<0[/tex] функцията [tex]y[/tex] е строго монотонно намаляваща.
10. Нули на производната (- особени точки).
[tex]y' =0 \,\ \Leftrightarrow x=0[/tex]
В такива точки функцията има локален екстремум, видът на който определяме с помощта на т.8 или с помощта на втората производна.
[tex]y_{max}=y(0)=3[/tex]
11. Огънатост на графиката - изпъкналост ([tex]y''>0[/tex]) и вдлъбнатост ([tex]y''<0[/tex]). Точки на смяна на вдлъбнатост и изпъкналост - така наречените инфлексни точки ([tex]y''=0[/tex]).
Започваме от последното - нули на втората производна [tex]y''=-12x^2-3[/tex] - няма.
Явно [tex]\forall x \,\ \Rightarrow \,\ y''<0[/tex] - вдлъбната функция в цялото си дефиниционно множество, графиката и е огъната "нагоре".

Виждам, че вече друг е отговорил, затова спирам Успех!

[emil3993]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%5Cleft(x%5Cright)%3D-x%5E4%5C:-%5C:2x%5E2%5C:%2B%5C:3

[pressi]

Благодаря много!