Просто доказателство

[hvyhg]

Даден е правоъгълен триъгълник ABC, в който е вписана окръжност. Окръжността се допира до основата в т. К. Да се докаже, че лицето на триъгълника е AK . BK

[Добромир Глухаров]

$AK.BK=(b-r).(a-r)=ab-(a+b).r+r^2=2S-(2p-c).r+r^2=\\=2S-r.(2p-c-r)=2S-r.(2p-p)=2S-S=S$

Използвани са формулите:

$S=pr;\ a+b+c=2p;\ p=c+r$, които лесно се виждат, като се построят вътрешно триъгълници с общ връх в центъра на вписаната окръжност - сумата от лицата им е равна на лицето на дадения триъгълник, радиусът на вписаната окръжност играе роля на височини; също се използва свойство на допирателни през обща външна точка - две от тях са равни на радиуса, сумата на други две е равна на хипотенузата.

[Vurbaninator]

Лицето S на всеки [tex]\Delta[/tex]-к се намира по формулата S=(p-a)(p-b)cotg[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]