Трудна задача с три страни

[emil3993]

Страните на ∆ ABC са AB = c , AC = b и CB= a . Вътрешната ъглополовяща на ∠ ACB пресича описаната около ∆ ABC окръжност в т. L . Да се намери отношението на лицата на ∆ ABL и ∆ ABC .
[tex]\frac{c^2}{(a+b+c)(a+b-c)}[/tex]

[ptj]

Нищо трудно- може да намериш тригонометричните функции на кой да е ъгъл, както и радиуса на описаната окръжност (синусова теорема).

[emil3993]

Може ли подробно?

[Knowledge Greedy]

От синусова теорема [tex]c=2Rsin\gamma[/tex]

Трудната със страните.png (6.78 KiB) Прегледано 882 пъти

Разстоянието от центъра на описаната окръжност до страната [tex]AC[/tex] е [tex]d=Rcos\gamma[/tex],
а лицето на [tex]\Delta ABL[/tex] е [tex]S_{\Delta ABL}=\frac{1}{2}c(R-d)=\frac{1}{2}cR(1-cos\gamma)[/tex]
Вторият множител ще изразим с косинусова теорема
[tex]1-cos\gamma = 1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{-(a-b)^2+c^2}{2ab}=\frac{(c+a-b)(c+b-a)}{ab}=2\frac{(p-a)(p-b)}{ab}[/tex]
Отношението
[tex]S_{\Delta ABC}:S_{\Delta ABL}=\frac{abc}{4R}:\frac{cR(p-a)(p-b)}{ab}=4\left ( \frac{abc}{4R} \right )^2.\frac{1}{c^2(p-a)(p-b)}[/tex]
Квадрата на лицето на [tex]\Delta ABC[/tex] сега изразяваме с хероновата формула [tex]S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)[/tex]
и съкращаваме.
Получаваме [tex]S_{\Delta ABC}:S_{\Delta ABL}=4\frac{p(p-c)}{c^2}[/tex]
__________
Само дето обърнах пропорцията.
__________
Формулата е в сила и когато ъгълът [tex]\gamma[/tex] е тъп. Тогава височината [tex]LD[/tex] става по-голяма от радиуса.

[emil3993]

Благодаря.

[emil3993]

Има ли друг начин?

[inveidar]

Има, разбира се. Нека [tex]CL\cap AB=K, LK=k, AK=m, KB=n[/tex]. Тогава [tex]l_c.k=m.n[/tex] (свойство на секущите през вътрешна точка в окръжността), т.е [tex]k=\frac{m.n}{l}[/tex], а [tex]\frac{l}{k}=\frac{l^2}{m.n} \Leftrightarrow \frac{l}{k}=\frac{a.b-m.n}{m.n}[/tex]. След това намираш [tex]m, n[/tex] от свойството на ъглополовящата и опростяваш. А защо търсеното отношение на лицата е [tex]\frac{k}{l}[/tex], трябва сам да се сетиш.

[Евва]

Ето и моята идея:
Да означим [tex]\angle[/tex]ACL=[tex]\angle[/tex]BCL=[tex]\gamma[/tex] ,[tex]S_{ABL }[/tex]=[tex]S_{1 }[/tex] ,[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]S_{2 }[/tex]
[tex]S_{1 }[/tex]:[tex]S_{2 }[/tex]=?
(за [tex]\triangle[/tex]ALB) Вписаният [tex]\angle[/tex]BAL=[tex]\angle[/tex]BCL=[tex]\gamma[/tex] и вписаният [tex]\angle[/tex]ABL=[tex]\angle[/tex]ACL=[tex]\gamma[/tex] ,тогава
[tex]S_{1 }[/tex]=[tex]\frac{c^{2}sin\gamma.sin\gamma}{2sin(180^\circ-2\gamma)}[/tex]=[tex]\frac{c^{2}.sin^{2}\gamma}{2.2sin\gamma.cos\gamma}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{1 }[/tex]=[tex]\frac{c^{2}.sin\gamma}{4cos\gamma}[/tex] (1)

[tex]S_{2 }[/tex]=[tex]\frac{ab.sin2\gamma}{2}[/tex]=[tex]\frac{ab.2sin\gamma.cos\gamma}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{2 }[/tex]=ab.sin[tex]\gamma[/tex]cos[tex]\gamma[/tex] (2)

[tex]\frac{S_{1 }}{S_{2 }}[/tex]=[tex]\frac{\frac{c^{2}.sin\gamma}{4cos\gamma}}{ab.sin\gamma.cos\gamma}[/tex]=[tex]\frac{c^{2}}{(2ab)2cos^{2}\gamma}[/tex]=[tex]\frac{c^{2}}{2ab}[/tex].[tex]\frac{1}{1+cos2\gamma}[/tex]=

Скрит текст: покажи

Чрез косинусова теорема намираме cos(2[tex]\gamma[/tex])=[tex]\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}[/tex]

=[tex]\frac{c^{2}}{2ab}[/tex].[tex]\frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}[/tex]=[tex]\frac{c^{2}}{2ab}[/tex].[tex]\frac{2ab}{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}}[/tex]=[tex]\frac{c^{2}}{(a^{2}+ab-ac)+(ab+b^{2}-bc)+(ac+bc-c^{2})}[/tex]=

=[tex]\frac{c^{2}}{a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(a+b-c)}[/tex]=

=[tex]\frac{c^{2}}{(a+b-c)(a+b+c)}[/tex]

[S.B.]

Страните на ∆ ABC са AB = c , AC = b и CB= a . Вътрешната ъглополовяща на ∠ ACB пресича описаната около ∆ ABC окръжност в т. L . Да се намери отношението на лицата на ∆ ABL и ∆ ABC .
[tex]\frac{c^2}{(a+b+c)(a+b-c)}[/tex]

Без заглавие - 2020-12-24T101253.949.png (274.77 KiB) Прегледано 607 пъти

Още един поглед върху задачата
Ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] и симетралата на страната $AB$ се пресичат в т.$L$ от окръжността.$\triangle ALB$ е равнобедрен , $\angle ABL = \angle ACL = \frac{\gamma}{2}$
От $\triangle LSB \rightarrow LB = \frac{c}{2cos\frac{\gamma}{2}}$
$S_{\triangle ABL} = \frac{AB.BL}{2}sin\frac{\gamma}{2} \Leftrightarrow S_{\triangle ALB} = \frac{c}{2}.\frac{c}{2cos\frac{\gamma}{2}}.sin\frac{\gamma}{2} \Rightarrow S_{\triangle ALB} = \frac{c^{2}sin\frac{\gamma}{2}}{4cos\frac{\gamma}{2}}$
$S_{\triangle ABC} = \frac{a.b}{2}sin\gamma \Leftrightarrow S_{\triangle ABC} = \frac{a.b}{2}.2sin\frac{\gamma}{2}cos\frac{\gamma}{2} \Rightarrow S_{\triangle ABC} = a.b.sin\frac{\gamma}{2}.cos\frac{\gamma}{2}$
$\displaystyle\frac{S_{ABL }}{S_{ABC }} =... \displaystyle \frac{c^{2}}{ab.4cos^{2}\displaystyle\frac{\gamma}{2}}$
$cos\gamma = \frac{(a^{2} + b^{2}) - c^{2}}{2ab}$
$2cos^{2}\frac{\gamma}{2} = 1 + cos\gamma \Leftrightarrow 2cos^{2}\frac{\gamma}{2} = \frac{(a + b)^{2} - c^{2}}{2ab} \Rightarrow 4cos^{2}\frac{\gamma}{2} = \frac{(a + b)^{2} - c^{2}}{ab}$
Тогава $\displaystyle\frac{S_{ABL }}{S_{ABC }} = \displaystyle\frac{c^{2}}{ab.4cos^{2}\displaystyle\frac{\gamma}{2}} = \displaystyle\frac{c^{2}}{ab.\displaystyle\frac{(a + b)^{2} - c^{2}}{ab}}$
$$\frac{S_{ABL }}{S_{ABC }} = \frac{c^{2}}{(a + b + c)(a + b - c)}$$