Сбирщина от интересни производни и тяхното приложение

[emil3993]

Здравейте математици. Може ли решенията на тези задачи? Благодаря предварително.

IMG_0321.JPG (681.48 KiB) Прегледано 283 пъти

IMG_0322.JPG (607.94 KiB) Прегледано 283 пъти

[emil3993]

Реших 2, 3, 4, 5.

[Knowledge Greedy]

Според мен малко колеги биха обърнали внимание на така формулирана тема. Прилича на медийна политическа заигравка в нечистоплътни форуми.
Ако беше неутралното "Няколко задачи с интересни производни и тяхното приложение".
или колекционерското "Комплект от интересни производни и тяхното приложение",
или астрономическо (астрологическо) "Съзвездие от интересни производни и тяхното приложение", или поне ботаническото "Съцветие от интересни производни и тяхното приложение", то интересът щеше да е бурен и тук щяха да се появят фойерверки от решения.
Поработи върху стилистиката, emil3993!

[emil3993]

Според мен малко колеги биха обърнали внимание на така формулирана тема. Прилича на медийна политическа заигравка в нечистоплътни форуми.
Ако беше неутралното "Няколко задачи с интересни производни и тяхното приложение".
или колекционерското "Комплект от интересни производни и тяхното приложение",
или астрономическо (астрологическо) "Съзвездие от интересни производни и тяхното приложение", или поне ботаническото "Съцветие от интересни производни и тяхното приложение", то интересът щеше да е бурен и тук щяха да се появят фойерверки от решения.
Поработи върху стилистиката, emil3993!

Извинявам се. Опитах се, но не можах да измисля друго - човешката природа не е перфектна. Имам срок, моля не ги решавайте след петък

[emil3993]

Мога да реша 5, 6, 7, 8, 10, 12.

[emil3993]

Ако има някоя добра душа моля и се да реши 1, 9, 11, 13. само

[Knowledge Greedy]

1.)
[tex]y=\frac{1}{3}x^3-a^2x[/tex]
[tex]y'=x^2-a^2[/tex]
[tex]y'(2)=4-a^2[/tex]

Понеже наклонът [tex]k[/tex] на допирателната се задава така [tex]k=tg\alpha = y'(2) =4-a^2[/tex]
и понеже [tex]0\le \alpha \le \frac{\pi}{2}[/tex], за тези ъгли следва

[tex]tg\alpha \ge 0 \,\ \Rightarrow \,\ 4-a^2\ge 0 \,\ \Leftrightarrow \,\ a\in [-2;\,\ 2][/tex]

9.)
[tex]f(x)=8x^3+4x^2+\frac{3}{5}[/tex]
[tex]f'(x)=24x^2+8x[/tex]

Правата [tex]y=kx-5[/tex] има наклон [tex]k[/tex] и въпросната допирателна към кубичната парабола в точката [tex]M\left (- \frac{1}{2}; \frac{3}{5} \right )[/tex] от условието, за да е успоредна на тази права, трябва да приравним [tex]k[/tex] на [tex]f' \left(- \frac{1}{2} \right )=24.\left(- \frac {1}{2} \right )^2+8.\left (- \frac{1}{2} \right )=2[/tex]
Следователно [tex]k=2[/tex]

[Knowledge Greedy]

11.)
[tex]f(x)=\frac{1}{4}tg2x+ax[/tex]
(За да не бъркаме [tex]k[/tex] с това от предходната задача, замених [tex]k[/tex] с [tex]a[/tex])

Намираме [tex]f'(x)=\frac{1}{2}.\frac{1}{cos^2x}+a[/tex]
Пресмятаме
[tex]f'\left ( \frac{\pi}{6} \right )=\frac{1}{2cos^2\left ( \frac{\pi}{6} \right )}+a[/tex]
[tex]f'\left ( \frac{\pi}{6} \right )=\frac{2}{3}+a[/tex]
приравняваме на нула [tex]\frac{2}{3}+a=0[/tex] и решаваме: [tex]a=-\frac{2}{3}[/tex]

13.)
Да означим височината на трапеца с [tex]h[/tex], следователно бедрата са по [tex]2h[/tex], а проекциите им върху голямата основа са по [tex]h\sqrt{3}[/tex]
Да означим малката основа на трапеца с [tex]x[/tex] , следователно голямата основа на трапеца е [tex]h\sqrt{3}+x+h\sqrt{3}[/tex] , следователно [tex]P=h\sqrt{3}+x+h\sqrt{3}+2h+x+2h[/tex].
Искаме да намерим [tex]minP[/tex], ако [tex]P=2x+(4+2\sqrt{3})h[/tex] при условие, че [tex]S=\frac{a+b}{2}h=(x+h\sqrt{3})h=72[/tex]

Изразяваме [tex]x=\frac{72}{h}-h\sqrt{3}[/tex] и заместваме в периметъра [tex]P[/tex], който се превръща във функция само на [tex]h[/tex].
[tex]P=P(h)=4h+\frac{144}{h}[/tex]
[tex]P'(h)=4-\frac{144}{h^2}[/tex]

[tex]P'(h)=0 \Leftrightarrow \,\ h=\pm 6[/tex]

[tex]P''(h)=\frac{288}{h^3}>0[/tex], за всяко [tex]h>0[/tex] вкл. и за [tex]h=6[/tex] следователно [tex]P_{min}(h)=P(6)=48[/tex] Това изобщо не се търсеше
Отговор: [tex]h=6[/tex]

[emil3993]

Благодаря.