ЗАДАЧА ОТ ТУ №25 Геометрия Трапец

[mmikovxy98]

Даден е трапец ABCD с основи AB=10 и CD = 6. През пресечната точка на диагоналите на трапеца е построена права, която е успоредна на основите и пресича бедрата на трапеца в точките P и Q. Да се намери дължината на отсечката PQ.

[Knowledge Greedy]

Отг. [tex]PQ=\frac{ab}{a+b}[/tex]
Как?
Нека [tex]AC\cap BD =т.O[/tex]
Двойката подобни триъгълници [tex]POA[/tex] и [tex]DCA[/tex] дават [tex]\frac{OP}{DC}=\frac{AO}{AC}[/tex]
Двойката подобни триъгълници [tex]COQ[/tex] и [tex]CAB[/tex] дават [tex]\frac{OQ}{AB}=\frac{CO}{AC}[/tex]
Събираме почленно двете равенства
[tex]\frac{OP}{DC}+\frac{OQ}{AB}=\frac{AO}{AC}+\frac{CO}{AC}[/tex]
Заместваме с известните ни отсечки
[tex]\frac{OP}{6}+\frac{OQ}{10}=\frac{AO+CO}{AC}[/tex]
Но [tex]OP=OQ[/tex] (Защо?)
[tex]\left ( \frac{1}{6}+\frac{1}{10} \right ) PQ=1[/tex]
[tex]PQ=7,5[/tex]

[mmikovxy98]

Окей благодаря! Трябва да порешавам геометрични задачи и стереометрия.

[mmikovxy98]

Отг. [tex]PQ=\frac{ab}{a+b}[/tex]
Как?
Нека [tex]AC\cap BD =т.O[/tex]
Двойката подобни триъгълници [tex]POA[/tex] и [tex]DCA[/tex] дават [tex]\frac{OP}{DC}=\frac{AO}{AC}[/tex]
Двойката подобни триъгълници [tex]COQ[/tex] и [tex]CAB[/tex] дават [tex]\frac{OQ}{AB}=\frac{CO}{AC}[/tex]
Събираме почленно двете равенства
[tex]\frac{OP}{DC}+\frac{OQ}{AB}=\frac{AO}{AC}+\frac{CO}{AC}[/tex]
Заместваме с известните ни отсечки
[tex]\frac{OP}{6}+\frac{OQ}{10}=\frac{AO+CO}{AC}[/tex]
Но [tex]OP=OQ[/tex] (Защо?)
[tex]\left ( \frac{1}{6}+\frac{1}{10} \right ) PQ=1[/tex]
[tex]PQ=7,5[/tex]

Това със събирането на двете равенства не го разбирам. Има ли друг начин с подобие или въобще друг метод?

[emil3993]

виж пропорции