Грешен отговор - сфера и призма

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.
Дадена е права триъгълна призма с основа правоъгълен триъгълник [tex]ABC[/tex] с хипотенуза [tex]AB=c[/tex] и [tex]\angle BAC=30^\circ[/tex] . Да се намери обемът на призмата, ако е известно, че в нея може да се впише сфера.

[Добромир Глухаров]

Височината на призмата е два пъти радиуса на вписаната сфера, която има същия радиус, като вписаната в основата окръжност.

$AB=c;\ BC=\frac{c}{2};\ AC=c\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$

$r=\frac{BC+AC-AB}{2}=\frac{\frac{c}{2}+c\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-c}{2}=\\=\frac{c}{4}\cdot(1+\sqrt{3}-2)=\frac{c}{4}\cdot(\sqrt{3}-1)$

$R=r$

$H=2R=2r=\frac{c}{2}(\sqrt{3}-1)$

$V=S_{\Delta ABC}.H=\frac{1}{2}\cdot\frac{c}{2}\cdot\frac{c\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{c}{2}(\sqrt{3}-1)=\\=\frac{c^3\sqrt{3}}{16}(\sqrt{3}-1)=\frac{c^3}{16}(3-\sqrt{3})$

[Knowledge Greedy]

Щом призмата е права, контура на ортогоналната ѝ проекция върху основата ще бъде точно вписаната в основата окръжност.
При хипотенуза [tex]c[/tex] и остър ъгъл [tex]30^\circ[/tex], катетите ще са [tex]\frac{c}{2}[/tex] и [tex]\frac{c\sqrt{3}}{2}[/tex] . Следователно лицето на основата [tex]S_{ABC}=\frac{c^2\sqrt{3}}{4}[/tex] . По друг начин - с формулата [tex]S=pr[/tex] и сравнявайки двете лица, откриваме радиуса [tex]r[/tex] на вписаната окръжност, значи и на сферата.
Височината на призмата е диаметър на сферата - за да може да я побере
Тогава [tex]V=2S_{ABC}r= \,\ ...[/tex]
Добри пак ме изпревари

[emil3993]

Благодаря. Значи аз имам грешка.

[emil3993]

Отговорът е с допълнение 1/2. Иначе трябва да е [tex]\frac{c^3(3-\sqrt{3})}{8}[/tex]