Усложнени ръбести тела4

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли обосновката и чертеж? Благодаря предварително.

[Knowledge Greedy]

Означенията - както на чертежа. Ъгълът между околните ръбове [tex]\angle (BM;CM)=2\alpha[/tex]. Поради равните околни ръбове и ролята на апотемата [tex]MK[/tex] и като ъглополовяща, следва че [tex]\angle CMK=\alpha[/tex]
Ъгълът между околен ръб и основата [tex]\angle (CM;AC)=\alpha[/tex].

Ъгъл между оклни ръбове и ъгъл мжду оклн ръб и осн.png (4.63 KiB) Прегледано 203 пъти

От [tex]\Delta KCM[/tex] - правоъгълен, по определение [tex]\frac{\frac{a}{2}}{CM}=sin\alpha[/tex]
Оттук [tex]CM=\frac{a}{2sin\alpha}[/tex]
Сега включваме [tex]CM[/tex] в триъгълника [tex]\Delta CMO[/tex] - за определяне на височината на пирамидата.
[tex]\frac{OM}{CM}=sin\alpha \,\ \Leftrightarrow \,\ OM=CMsin\alpha[/tex]
От полученото по-горе
[tex]OM=\frac{a}{2\cancel{sin\alpha}} \cancel{sin\alpha}=\frac{a}{2}[/tex]
И с изненада разбираме, че сме имали поне още два-три други начина да установим този факт.
[tex]V=\frac{1}{3}S_{ABCD}.MO=\frac{1}{3}a^2.\frac{a}{2}=\frac{a^3}{6}[/tex]