Усложнени ръбести тела5

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли обосновката и чертеж? Благодаря предварително.

[Knowledge Greedy]

Правилна пирамида.png (7.46 KiB) Прегледано 210 пъти

От условието [tex]\angle DNO=\angle BNO = \angle OCM[/tex]
Означаваме всеки от тези три ъгъла с [tex]\beta[/tex].
[tex]tg\beta = \frac{MO}{OC}[/tex] - от определението за тангенс на остър ъгъл в правоъгълния [tex]\Delta OCM[/tex]
Оттук [tex]tg \beta=h\sqrt{2}[/tex]

[tex]tg\beta = \frac{DO}{ON}[/tex] - от определението за тангенс на остър ъгъл в правоъгълния [tex]\Delta OCM[/tex]
Оттук [tex]tg \beta=\frac{\sqrt{2}}{2ON}[/tex]

Тези две изразявания на [tex]tg \beta[/tex] ни позволяват да свържем [tex]ON[/tex] и [tex]h[/tex].
[tex]ON.h=\frac{1}{2} \,\ (\ast)[/tex]

Сега разглеждаме правоъгълния [tex]\Delta OCM[/tex]
Изразяваме лицето му по два начина
[tex]\frac{OM.OC}{2}=\frac{CM.ON}{2}[/tex]
Получава се [tex]\frac{h\sqrt{2}}{2}=ON.\sqrt{h^2+1}[/tex]

Оттук и от [tex](\ast)[/tex] намираме [tex]h=\sqrt{1+\sqrt{3}}[/tex] - от уравнението [tex]h^4-2h^2-2=0[/tex]
С така намерената височина определяме обема на пирамидата
[tex]V=\frac{1}{3}.1^2.\sqrt{1+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{1+\sqrt{3}}}{3}[/tex]