Подбрани ръбести тела11

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли обяснението? Може ли чертеж? Благодаря предварително.
Основата на четириъгълна пирамида е ромб с дължина на страната 5 и голям диагонал 8. Околните стени сключват ъгъл 45 градуса с основата. Обемът на пирамидата е?
а)32
б)48
в)96/5
г)228/5
д)96

[Nathi123]

Околните стени на пирамидата сключват равни двустенни ъгли с основата,следователно върхът на пирамидата се проектира ортогонална в център на вписаната в основата окръжност. По условие основата е ромб ,значи центъра на вписаната в ромба окръжност е пресечната точка на диагоналите. Пирамидата чертаем с основа успоредник и от пресечната точка на диагоналите му издигаме перпендикуляр към равнината на усп. ( в случая ромба). Нека това е пирамидата ABCDQ .( Q-върхът на пирамидата ). [tex]AC \cap BD = O[/tex].
Построяваме в равн на основата [tex]OP\bot BC\Rightarrow QP\bot BC[/tex] т-ма за трите перпенд.
[tex]\Rightarrow \angle OPQ=45^\circ = \angle ( (ABC),(BCQ))\Rightarrow QO=OP=r[/tex]-радиус на вп. в ABCD окръжност и [tex]OQ\bot (ABC)[/tex].
[tex]\Rightarrow V=\frac{S_{ABCD}.QO}{3}; S_{ABCD }=pr=\frac{1}{2}AC.BD; AC=8; \Delta AOB\Rightarrow BO^{2}=AB^{2}-AO^{2}=25-16=9[/tex]
[tex]\Rightarrow BO=3\Rightarrow BD=6[/tex] ( Т на Питагор) .[tex]S_{ABCD }=3=8=24=2.5.r\Rightarrow r=\frac{12}{5}= QO[/tex].
[tex]\Delta OPQ\Rightarrow OP=r=OQ,[/tex] защото [tex]\angle OPQ=45^\circ = \angle OQP; \angle QOP=90^\circ (QO\bot (ABC)).[/tex]
[tex]\Rightarrow V=\frac{24.6}{5.3}=\frac{96}{5}.[/tex]

[emil3993]

Благодаря.