Подбрани ръбести тела12

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли обосновката и чертеж? Благодаря предварително.
За основа на пирамидата MABCD служи успоредникът ABCD със страна AB=18, AD=10 и [tex]\angle[/tex]BAD=30[tex]^\circ[/tex]. Върхът M на пирамидата се проектира ортогонално в пресечната точка O на диагоналите AC и BD на основата. Ако MO=6, намерете обема и пълната повърнина на пирамидата.

[Knowledge Greedy]

Лицето на основата е [tex]S=AB.AD.sin \angle BAD=18.10.sin30^\circ=90[/tex]
Така обемът [tex]V_{ABCDM}=\frac{1}{3}90.OM=\frac{1}{3}90.6=180[/tex]

Пирамида обем и лице околна повърхнина.png (9.3 KiB) Прегледано 272 пъти

Като използваме другата формула - използваща височина на успоредник, намираме двете височини на успоредника на основата.
[tex]h_{AB}=5[/tex]
[tex]h_{AD}=9[/tex]
С тяхна помощ намираме височините [tex]MK[/tex] и [tex]MN[/tex] на околните стени.Отново по теорема на Питагор - за [tex]\Delta OKM[/tex] намираме [tex]MK^2=MO^2+OK^2 \,\ \Leftrightarrow \,\ MK=\sqrt{6^2+5^2}[/tex]
[tex]MK=\sqrt{61}[/tex]
Вече имаме лицата на два от триъгълниците - околни стени на пирамидата [tex]S_{BCM}=S_{ADM}=\frac{1}{2}.10.\sqrt{61}=5\sqrt{61}[/tex]

Сега разглеждаме [tex]\Delta ONM[/tex]
[tex]ON[/tex] е половината от височината към [tex]AB[/tex], значи [tex]ON=2,5[/tex]
и намираме [tex]MN^2=MO^2+ON^2 \,\ \Leftrightarrow \,\ MN=\sqrt{6^2+2,5^2}=\sqrt{42,25}=6,5[/tex]
Така намираме лицата на другите два от триъгълниците - околни стени на пирамидата [tex]S_{ABM}=S_{DCM}=\frac{1}{2}.18.6,5=58,5[/tex]
Остава да съберем всички и да получим цялото лице на околната повърхнина.

[emil3993]

Защо отсечката ОК е 5?

[Knowledge Greedy]

Ето основата на пирамидата. Точката [tex]W[/tex] не е отбелязана на първия чертеж, но тя е единият край на височината към [tex]BC[/tex] (и [tex]AD[/tex] - разбира се). Височината [tex]WK=10[/tex] е пресметната в началото на решението.

Основаата на пирамидата.png (3.69 KiB) Прегледано 260 пъти

Чертежът ми не е точен. В действителност височината през пресечната точка [tex]O[/tex] на диагоналите ще има за край точка [tex]K[/tex] извън отсечката [tex]BC[/tex], при този ъгъл [tex]30^\circ[/tex] и дадените дължини на страните. Но това няма значение за пресмятането и за отговора.

[emil3993]

Благодаря.