Равнобедрен триъгълник

[nobadvibes]

В правоъгълен триъгълник медианата CM към хипотенузата AB e 5.B триъгълниците АМС и ВМС са вписани окръжности.Намерете дължината на централата им, ако АС=6.
Отг. [tex]\frac{5}{6}\sqrt{13}[/tex]

[Knowledge Greedy]

От условието [tex]AB=10[/tex] и [tex]BC=8[/tex] - по теорема на Питагор.

Една централа.png (5.79 KiB) Прегледано 312 пъти

Всеки от двата триъгълника [tex]\Delta AMC[/tex] и [tex]\Delta BMC[/tex] има лице [tex]12[/tex] - половината от лицето на [tex]\Delta ABC[/tex]
С формулата [tex]S=pr[/tex] откриваме радиусите на вписаните окръжности в [tex]\Delta AMC[/tex] и [tex]\Delta BMC[/tex] -
съответно [tex]r_1=\frac{3}{2}[/tex] и [tex]r_2=\frac{4}{3}[/tex]
С формулите за допирателните откриваме [tex]CK=3[/tex] и [tex]CN=4[/tex]
С питагорови теореми за [tex]\Delta CKO_1[/tex] и [tex]\Delta CNO_2[/tex] откриваме [tex]CO_1=\sqrt{3^2+\left (\frac{3}{2} \right )^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}[/tex] и [tex]CO_2=\sqrt{4^2+\left (\frac{4}{3} \right )^2}=\frac{4\sqrt{10}}{3}[/tex]
Тъй като [tex]\angle O_1CO_2=45^\circ[/tex], с косинусова теорема за [tex]\Delta O_1O_2C[/tex] получаваме
[tex]O_1O^2_2=\frac{45}{4}+\frac{160}{9}-2.\frac{3\sqrt{5}}{2}.\frac{4\sqrt{10}}{3}.cos45^\circ=\frac{325}{36}[/tex]
Следователно
[tex]O_1O_2=\frac{5\sqrt{13}}{6}[/tex]

[Alex98]

[tex]AB=2CM=10 \Rightarrow BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8 \Rightarrow S_{ABC}=\frac{AC.BC}{2}=24[/tex]
[tex]S_{AMC}=S_{BMC}=\frac{1}{2}S_{ABC}=12[/tex]
[tex]AC=6 \Rightarrow MK=4 ; BC=8 \Rightarrow NM=3[/tex]
[tex]12=S_{AMC}=p_{AMC}.O_1K \Rightarrow O_1K=\frac{3}{2} \Rightarrow O_1M=\frac{5}{2}[/tex]
[tex]12=S_{BMC}=p_{BMC}.O_2N \Rightarrow O_2N=\frac{4}{3} \Rightarrow O_2M=\frac{5}{3}[/tex]
За [tex]\Delta O_1O_2M[/tex] Питагорова теорема [tex]\Rightarrow O_1O_2=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{25}{9}}=\frac{5\sqrt{13}}{6}[/tex]