Равностранен триъгълник

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли най-лесното решение? Благодаря предварително.

[Davids]

dasda.png (18.98 KiB) Прегледано 360 пъти

Дадена успоредност, подобни триъгълници на големия, следователно също еднакви - обозначените равенства са ясни.
Веднага имаме $x + y = a = \frac{11}{4}$
Минаваме на даденото лице, което изразяваме по формулата:
$S = \frac{7\sqrt{3}}{16} = \frac{xy.sin60}{2} = \frac{\sqrt{3}xy}{4} \Rightarrow xy = \frac{7}{4}$
Имаме система от симетрични равенства (или както се наричаха тези, при които няма разлика, ако разменим местата на двете променливи)
Изразяваме едната чрез другата, заместваме, решаваме квадратно, стигаме до две решения (както казахме, променливите могат да си ги разменят като стойност), но да речем: $x = \frac{7}{4}; y = 1$
Остана косинусова теорема:
$KL^2 = 1 + \frac{49}{16} - 2.\frac{7}{4}.cos60 = ... = \frac{37}{16}$
$KL = \frac{\sqrt{37}}{4}$

[emil3993]

И аз така подходих, но мисля, че има и по-лесен начин. моля се да има

[Knowledge Greedy]

Незабележимо по-бързо решение. За да се отличава от това на [tex]Davids[/tex], ще използвам същия чертеж и същите означения, но ... няма да намирам нито [tex]x[/tex] нито [tex]y[/tex] (това първо) и второ - ще го нарека [tex]^{\ast}[/tex] "решение с полу-котангенсова теорема" (тя си е отново косинусова, ама е по-...така) .
Без да решаваме системата [tex]\begin{array}{|l} x + y = a=\frac{11}{4} \\ KL^2=(x+y)^2-4S_{\Delta KLM}cotg 30^\circ \end{array}[/tex]
- само със заместване във второто уравнение получаваме отговора.
[tex]KL= \sqrt{ \left (\frac{11}{4} \right )^2- 4. \frac{7\sqrt {3}}{16}.\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{37}}{6}[/tex]
_________
[tex]^{\ast}[/tex] Полу-котангенсова теорема наричаме равенството [tex]c^2=(a+b)^2-4Scotg\frac{\gamma}{2}[/tex]
Котангенсова теорема наричаме равенството [tex]c^2=a^2+b^2-4Scotg\gamma[/tex]
при стандартните означения на елементите в триъгълник.

[emil3993]

Благодаря.