Тригонометрично уравнение с параметър

[ivan_ivov]

Здравейте, ако може да им помогнете с обяснението на тази задача, благодаря предварително

[123a]

Представи синуса чрез косинуса от основното тригонометрично тъждество. От там положи косинуса за $y$ и разгледай интервала в който се изменя $y$. От тук задачата се свежда до това да се намерят стойностите на параметъра, за които новото уравнение след полагането има решение в интервала, в който принадлежи $y$.

[ivan_ivov]

Да, това го схванах, но след преобразуването на тригонометрията и полагането, се омотавам в условията на квадратното. Ще съм благодарен ако някой седне и я реше и да публикува тук пълното решение докрай с интервалите, засичат ли се, ако се прави една система как трябва да се третират решенията - засичане или обединение ?

[Davids]

Квадратното ни уравнение има вида:
$2y^2 - y - 2k = 0$, където $y = cosx$
От параметъра искаме да е такъв, че $-1 \le y \le 1$.
Първо неотрицателна дискриминанта, за въобще наличието на корени: $D = 1 + 16k \ge 0 \Rightarrow k \ge -\frac{1}{16}$
Коефициентът пред висшата степен е константно положителен - параболата е обърната нагоре. Неин връх се постига при $y = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{4}$. Върхът е в търсения интервал, следователно разглеждаме два случая: когато само единият корен е в интервала (първото уравнение) и когато и двата са в него (втората система):
[tex]f(-1).f(1) \le 0 \cup \begin{array}{|l} f(-1) \ge 0 \\ f(1) \ge 0 \end{array}[/tex]
Решение на уравнението са всички $k \in [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$, а на системата - $k \le \frac{1}{2}$
Обединяваме двата интервала и пресичаме с този за дискриминантата, достигайки до отговора: $k \in [-\frac{1}{16}; \frac{3}{2}]$

[Knowledge Greedy]

Началото е същото. Същото полагане [tex]cosx=y[/tex], по същия начин определяме [tex]DM: -1\le y \le 1 \,\ (\ast)[/tex]
Само че изразяваме параметъра [tex]k[/tex] като функция на [tex]y[/tex]. Оценяването на [tex]k[/tex] става с отделяне на точен квадрат.
Последователно описано това става така :
[tex]3cosx+2(1-cos^2x)=2-2k[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]3y+2-2y^2=2-2k[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2k=2y^2-3y[/tex]
Делим на две
[tex]k=y^2-\frac{3}{2}y[/tex]
и отделяме точен квадрат [tex]\fbox{k=\left (y-\frac{3}{4} \right )^2-\frac{9}{16}}[/tex][tex][/tex]

От [tex](\ast)[/tex] следва, че [tex]-1- \frac{3}{4} \le y-\frac{3}{4} \le 1- \frac{3}{4} \,\ \Leftrightarrow \,\ -\frac{7}{4} \le y-\frac{3}{4} \le \frac{1}{4}[/tex]
Последното неравенство означава, че квадратът е заключен в интервала [tex]\left [0; \frac{49}{16} \right ][/tex], т.е.
[tex]0 \le \left (y-\frac{3}{4} \right )^2 \le \frac{49}{16}[/tex]

Изваждаме от трите страни [tex]\frac{9}{16}[/tex]
и получаваме [tex]-\frac{9}{16} \le \left (y-\frac{3}{4} \right )^2 -\frac{9}{16} \le \frac{49}{16} - \frac{9}{16}[/tex]
По средата e параметърът [tex]k[/tex]
[tex]-\frac{9}{16} \le k \le \frac{\cancel{40}^5}{\cancel{16}^2}=\frac{5}{2}[/tex]
Отговор:
[tex]k \in \left [-\frac{9}{16}; \frac{5}{2} \right ][/tex]
____________
Накрая четем още веднъж условието и виждаме, че се търсят само целите стойности на параметъра.
Е, това вече е лесно.
[tex]k\in \{0, \,\ 1, \,\ 2 \}[/tex]
___________
Много е възможно ivan_ivov да се чуди на кого да вярва. Решението на Davids също е вярно, но за първоначално условие [tex]cosx+2sin^2x=2-2k[/tex]
Значи ivan_ivov има вече две близки задачи, решени по два различни начина

[ivan_ivov]

Видът на квадратното уравнение след полагането не е ли [tex]2t^{2}[/tex] - [tex]3t[/tex] - 2k ? Защото мисля, че зарази това Davids оттам нататък е получил други решения. За отговор на тази задача са дадени цели стойности на числата 0, 1 и 2, тоест решението на Knowledge Greedy е правилно. Аз го получих като след полагането, изследвам квадратната функция да има корени с две системи: -1[tex]\le[/tex] [tex]t_{1 }[/tex] [tex]\le[/tex] [tex]t_{2 }[/tex] и втората [tex]t_{1 }[/tex] [tex]\le[/tex] [tex]t_{2 }[/tex] [tex]\le[/tex] 1 и после се чудих какво да правя с решенията. При обединение получавам отговорите на Knowlgedge. Иначе ако се прави една система с условията за D, върха и условията за корени в даден интервал трябва всичките да се обединят, май. Тези задачи са ми тъмна Индия, защото въобще не са ми ги обяснявали в училище и благодаря за Вашата помощ.

[Nathi123]

Тригонометричното уравнение [tex]2sin^{2}x+3cosx =2-2k\Leftrightarrow 2cos^{2}x -3cosx -2k=0[/tex] ще има решение,ако уравнението
[tex]2t^{2}-3t-2k=0 (1); ( cosx = t)[/tex] има решение в интервала [-1,1]. Това е изпълнено в 2 случая :
1. (1) има два корена в [-1,1] и 2. (1) има точно един корен в [-1,1].
Т.е.[tex]\begin{array}{|l} D\ge 0\\ f(1) \ge 0 \\ f(-1)\ge 0 \end{array} \cup f(-1).f(1) \le 0 ;\Leftrightarrow \begin{array}{|l} k\ge - \frac{9}{16} \\ 5-2k\ge 0 \\ -1-2k\ge 0 \end{array}\cup ( 5-2k )( -1-2k) \le 0[/tex].
[tex]k\in [-\frac{9}{16},-\frac{1}{2}] \cup [-\frac{1}{2},\frac{5}{2}]\Leftrightarrow k \in [-\frac{9}{16},\frac{5}{2}][/tex] .Остава да се вземат целите стойности на к от получения интервал.

[emil3993]

Задачата заслужава да съществува