Произведението на всички решения на уравнението

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.
г

[Добромир Глухаров]

$\sqrt{20+x-x^2}lg(11-3x-x^2)=0$

$D.C.:\begin{array}{|l}20+x-x^2\geq0\\11-3x-x^2>0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}(x-5)(x+4)\leq0\\x^2+3x-11<0\end{array}$

Второто неравенство решаваме така: $D=3^2-4.1.(-11)=53;\ x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{53}}{2}$

$D.C.:\Leftrightarrow\begin{array}{|l}x\in[-4;5]\\x\in\left(\frac{-3-\sqrt{53}}{2};\frac{-3+\sqrt{53}}{2}\right)\end{array}\Leftrightarrow x\in\left[-4;\frac{-3+\sqrt{53}}{2}\right)$

Лявата страна на уравнението е произведение от два множителя. Приравняваме последователно всеки от тях на $0$:

$\sqrt{20+x-x^2}=0\Leftrightarrow x^2-x-20=0$

$x_1=-4\in D.C.$
$x_2=5\notin D.C.$

$lg(11-3x-x^2)=0\Leftrightarrow 11-3x-x^2=1\Leftrightarrow x^2+3x-10=0$

$x_3=-5\notin D.C.$
$x_4=2\in D.C.$

$-4.2=-8\to$ отг. г)

[emil3993]

Благодаря.

[Knowledge Greedy]

Понеже задачата е "за ограждане", аз бих предложил малко по-друг подход.
Първо намираме корените на отделните множители - оттук [tex]20+x-x^2=0[/tex]
и [tex]11-3x-x^2=1[/tex] (Последното по причина, че логаритъмът става нула, когато е изчислен от [tex]1[/tex]).
Първото дава [tex]x_1=-4[/tex] и [tex]x_2=5[/tex], а корените на второто са [tex]x_3=-5[/tex] и [tex]x_4=2[/tex]
Сега правим проверка с корените на първото - като аргументи на логаритъма и с корените на логаритъма - като аргументи на радикала.
Отхвърляме [tex](-5)[/tex] като неприемлив за корена, а [tex]5[/tex] отхвърляме като неприемлив за логаритъма и остава да умножим оставащите два: [tex](-4).2=-8[/tex].

[emil3993]

Благодаря.