Нерешима задача7

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.
a[tex]\in[/tex](0;1)

[KOPMOPAH]

Нерешима, нерешима ... колко да е нерешима
Вероятно авторите на задачата са имали предвид не равен брой "решения", а "корени", защото биквадратното уравнения в последните няколко века има едно решение, а именно $x_1,x_2,x_3,x_4=\pm \sqrt{\frac{5 \pm \sqrt {5^2-4.6}}{2}}$, т.е. има четири реални корена. Остава да се изследва при какви стойности на параметъра $a$, модулното уравнение има четири корена.

[Knowledge Greedy]

А ето и отговора

Колко може да бъде a question mark.png (6.84 KiB) Прегледано 454 пъти

за този, който може да го види

[Nathi123]

Уравнението [tex]x^{4}-5x^{2}+6=0[/tex] има четири различни реални корена [tex]x =\pm\sqrt{2} \cup x=\pm\sqrt{3}\Rightarrow |x^{2} +2x|=a[/tex]
трябва да има 4 различни реални корена [tex]\Rightarrow a>0 ; |x^{2}+2x|=a\Leftrightarrow x^{2}+2x=a\cup x^{2}+2x=-a\Leftrightarrow
a>0 ; (1) x^{2}+2x-a=0 \cup (2) x^{2}+2x+a=0 \Rightarrow[/tex]
Уравнението [tex]|x^{2}+2x|=a[/tex] ще има 4 различни реални корена ,ако a>0 и уравненията (1) и (2) имат по 2 различни реални корена,т.е. техните дискриминанти са положителни. Да ги означим с [tex]D_{1 }=1+a ; D_{2 } = 1-a\Rightarrow\begin{array}{|l} 1+a>0 \\ 1-a>0\\a>0 \end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\begin{array}{|l} a>-1 \\ a<1 \\a>0\end{array}\Leftrightarrow a\in(0,1).[/tex]

[emil3993]

Благодаря, разбрах го.