Трудна задача по тригонометрия

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.

[pal702004]

От $\alpha -\frac{\beta}{2}$ извади $\frac{\alpha}{2}-\beta$

[KOPMOPAH]

Трудна, трудна,... колко да е трудна
Използваме една от основните формули в тригонометрията, а именно за косинус на разлика:
$\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$
В конкретния случай имаме
$\cos \left (\alpha-\frac {\beta}2 -\frac {\alpha}2+\beta \right)=\cos \left (\alpha-\frac {\beta}2 \right) \cos \left(\frac {\alpha}2+\beta \right) + \sin \left(\alpha-\frac {\beta}2 \right) \sin \left(\frac {\alpha}2+\beta \right)$
$\cos \left (\frac {\alpha+\beta}2 \right)=\underbrace{\cos \left (\alpha-\frac {\beta}2 \right)}_{\mbox{=$\frac19$ по условие}} \underbrace{\cos \left(\frac {\alpha}2-\beta \right)}_{\mbox{=$\cdots$ изчисли!}} + \underbrace{\sin \left(\alpha-\frac {\beta}2 \right)}_{\mbox{=$\cdots$ изчисли!}} \underbrace{\sin \left(\frac {\alpha}2-\beta \right)}_{\mbox{=$\frac23$ по условие}}$

[emil3993]

Благодаря.