Тригонометрично уравнение от ТУ

[mmikovxy98]

[tex]3{cos(x)} + 2{sin^{2}(x)}=2-2{k}[/tex] Да се намерят целите стойности на параметъра к, за които уравнението има решение. Така аз стигам до тук:

[tex]{cos(x)} = -2k[/tex]

[tex]{cos(x)} = \frac{3+2k}{2}[/tex]

или другия вариянт за който не съм сигурен, но мисля че пак ще стане е : [tex]{cos(x)} = y[/tex] -----> [tex]2y^{2} - 3y - 2k=0[/tex]

[Davids]

Аз лично бих подходил така:
$3cosx + 2sinx = 2 - 2k$
$3^2 + 2^2 = 13$, следователно има ъгъл $\alpha$, за който $sin\alpha = \frac{3}{13}$ и $cos\alpha = \frac{2}{13}$
Изваждаме пред скоби:
$13(\frac{3}{13}.cosx + \frac{2}{13}.sinx) = 2 - 2k$
$sin(\alpha + x) = 26 - 26k$
И понеже, за да има решение, трябва $sin(\alpha + x) \in [-1; 1]$, то ни удовлетворява системата:
[tex]\begin{array}{|l} 26 - 26k \ge -1 \\ 26 - 26k \le 1 \end{array}[/tex]
Откъдето отговорът е $k \in [\frac{25}{26}; \frac{27}{26}]$

[mmikovxy98]

Аз лично бих подходил така:
$3cosx + 2sinx = 2 - 2k$
$3^2 + 2^2 = 13$, следователно има ъгъл $\alpha$, за който $sin\alpha = \frac{3}{13}$ и $cos\alpha = \frac{2}{13}$
Изваждаме пред скоби:
$13(\frac{3}{13}.cosx + \frac{2}{13}.sinx) = 2 - 2k$
$sin(\alpha + x) = 26 - 26k$
И понеже, за да има решение, трябва $sin(\alpha + x) \in [-1; 1]$, то ни удовлетворява системата:
[tex]\begin{array}{|l} 26 - 26k \ge -1 \\ 26 - 26k \le 1 \end{array}[/tex]
Откъдето отговорът е $k \in [\frac{25}{26}; \frac{27}{26}]$

Оле, колега ... аз съм пропуснал да напиша 2ра степен на уравнението. Съжалявам сега ще се поправя

[Davids]

[tex]3{cos(x)} + 2{sin^{2}(x)}=2-2{k}[/tex]

Това променя играта
Квадратното уравнение, както си го записал, е правилния път.
Имайки
$2y^2 - 3y - 2k = 0$
искаме всички $y \in [-1; 1]$
Започваме да работим с функцията.
Първо изискване -> да има реални корени, което означава неотрицателна дискриминанта: $D = 9 - 16k \ge 0 \Rightarrow k \ge -\frac{9}{16}$
Второ изискване -> върхът на параболата да лежи в интервала, т.е. $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{3}{4} \in [-1; 1] \forall x$, така че всичко е наред тук.
Трето и четвърто изискване остават двата корена да са в този интервал, което при положителен коефициент пред висшата степен означава
$\begin{array}{|l} f(-1) \ge 0 \\ f(1) \ge 0 \end{array}$. Решение на тази система е $k \le -\frac{1}{2}$
И окончателният отговор става $k \in [-\frac{9}{16}; -\frac{1}{2}]$

[Hephaestus]

[tex]3cosx + 2(1-cos^{2}x) + 2k - 2 = 0[/tex]
[tex]3cosx + 2 - 2cos^{2}x + 2k - 2 = 0[/tex]
[tex]2cos^{2} - 3cosx - 2k = 0[/tex]
Полагаме [tex]cosx = y[/tex] (имайки предвид, че косинусът е ограничена функция и [tex]cosx \in [-1;1][/tex]) и получаваме [tex]2y^{2} - 3y - 2k = 0[/tex]
За да има решение квадратното уравнение, е необходимо [tex]D \ge 0[/tex], тоест [tex]k\ge[/tex][tex]-\frac{9}{16}[/tex] или по по-нагледен начин записано [tex]k \in [-\frac{9}{16}; \infty)[/tex].
Така гарантирахме, че квадратното уравнение ще има решение. А за да има решение първоначалното (тригонометрично) уравнение, което имахме преди полагането, е необходимо поне един от корените на квадратното уравнение [tex]x_{1 }[/tex] или [tex]x_{2 }[/tex] да принадлежи на интервала [tex][-1;1][/tex]. Значи трябва [tex]f(-1).f(1) \le 0[/tex] (от теоремите за разпределение корените на квадратно уравнение върху числовата ос) [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex](5 - 2k)(-1 - 2k) \le 0[/tex], тоест k[tex]\in[/tex][tex][-\frac{1}{2}[/tex];[tex]\frac{5}{2}][/tex]
Търсим сечението, което ни дава k[tex]\in[/tex][tex][-\frac{9}{16}[/tex];[tex]\frac{5}{2}][/tex], а целите стойности на [tex]k[/tex] в този интервал са 0, 1 и 2.
Окончателно, [tex]k = {0; 1; 2}[/tex].

[Davids]

Глупав пропуск от моя страна... Да има корен е друго.

[emil3993]

Бе ще пребия някой - viewtopic.php?f=85&t=20214
DAVIDS наистина май го правиш за тая пуста точка, намери си хоби да решаваш задачи, не за точката, а за себе си

[Davids]

Бе ще пребия някой - viewtopic.php?f=85&t=20214
DAVIDS наистина май го правиш за тая пуста точка, намери си хоби да решаваш задачи, не за точката, а за себе си

Целта е нищо повече от посредствена шегичка със съревнователния характер на системата за репутация, ама явно не се възприема по същия начин навсякъде

[emil3993]

Бе ще пребия някой - viewtopic.php?f=85&t=20214
DAVIDS наистина май го правиш за тая пуста точка, намери си хоби да решаваш задачи, не за точката, а за себе си

Целта е нищо повече от посредствена шегичка със съревнователния характер на системата за репутация, ама явно не се възприема по същия начин навсякъде

Шегувам се с тебе.