реципрочно уравнение

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли да се избегне решението? Ако не може, може ли малко информация за реципрочните уравнения. Благодаря предварително.
а

[Vurbaninator]

[tex]x^{2}[/tex]+5x+2-[tex]\frac{x^{2}+x-2}{x+2}[/tex]=0 |. (x+2)[tex]\ne[/tex]0
[tex]x^{3}[/tex]+5[tex]x^{2}[/tex]+2x-[tex]x^{2}[/tex]-x+2=0
[tex]x^{3}[/tex]+4[tex]x^{2}[/tex]+x+2=0
От формулите на Виет
[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]x_{1 }[/tex]+[tex]x_{2 }[/tex]+[tex]x_{3 }[/tex]+[tex]x_{4 }[/tex]=-4

[Vurbaninator]

[tex]x^{2}[/tex]+5x+2-[tex]\frac{x^{2}+x-2}{x+2}[/tex]=0 |. (x+2)[tex]\ne[/tex]0
[tex]x^{3}[/tex]+5[tex]x^{2}[/tex]+2x-[tex]x^{2}[/tex]-x+2=0
[tex]x^{3}[/tex]+4[tex]x^{2}[/tex]+x+2=0
От формулите на Виет
[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]x_{1 }[/tex]+[tex]x_{2 }[/tex]+[tex]x_{3 }[/tex]+[tex]x_{4 }[/tex]=-4

[Hephaestus]

Не е реципрочно.
[tex]ДМ: \forall x \ne -2[/tex].
Тогава умножаваме по (х + 2) и уравнението е еквивалентно на
[tex](x^{2} + 5х + 2)(х + 2) - (x^{2} + х - 2) = 0[/tex]
[tex](x^{2} + х - 2)[/tex] се разлага на [tex](х + 2)(х - 1)[/tex] и оттук
[tex](x^{2} + 5х + 2)(х + 2) - (х + 2)(х - 1) = 0[/tex]
Изнасяме (х + 2) пред скоби и получаваме [tex](х + 2)(x^{2} + 5х + 2 - х + 1) = 0[/tex]
[tex](х + 2)(x^{2} + 4х + 3) = 0[/tex]
[tex]х_{1 } = -2 \notin ДМ, х_{2 } = -1 \in ДМ, х_{3 } = -3 \in ДМ[/tex]
Тогава сборът на корените е [tex]-1 + (-3) = -4[/tex].
П.П.: Може и още в самото начало да разложиш [tex](x^{2} + х - 2)[/tex] и след това да съкратиш при същото ДМ. Ще спестиш малко писане

[Nathi123]

Уравнението наистина не е реципрочно,а дробно с ДМ [tex]x\ne -2 ; x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)\Rightarrow \begin{array}{|l} x^{2}+5x+2-(x-1)=0\\ x\ne -2\end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow]\begin{array}{|l} x^{2} +4x+3=0\\ x\ne - 2 \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x=-1\cup x = -3 \\ x \ne -2\end{array}\Leftrightarrow x=-1\cup x=-3[/tex]
[tex]\Rightarrow x_{1 }+x_{2 } = -1-3=-4[/tex].

[emil3993]

Уравнението наистина не е реципрочно,а дробно с ДМ [tex]x\ne -2 ; x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)\Rightarrow \begin{array}{|l} x^{2}+5x+2-(x-1)=0\\ x\ne -2\end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow]\begin{array}{|l} x^{2} +4x+3=0\\ x\ne - 2 \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x=-1\cup x = -3 \\ x \ne -2\end{array}\Leftrightarrow x=-1\cup x=-3[/tex]
[tex]\Rightarrow x_{1 }+x_{2 } = -1-3=-4[/tex].

Това логически е забранено. Не трябва ли [tex]x^{2}+x-2[/tex] да се умножи с x+2? Та разбрах, лаконичиш.

[emil3993]

[tex]x^{2}[/tex]+5x+2-[tex]\frac{x^{2}+x-2}{x+2}[/tex]=0 |. (x+2)[tex]\ne[/tex]0
[tex]x^{3}[/tex]+5[tex]x^{2}[/tex]+2x-[tex]x^{2}[/tex]-x+2=0
[tex]x^{3}[/tex]+4[tex]x^{2}[/tex]+x+2=0
От формулите на Виет
[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]x_{1 }[/tex]+[tex]x_{2 }[/tex]+[tex]x_{3 }[/tex]+[tex]x_{4 }[/tex]=-4

Разбрах всичко без как използва Виет?

[pal702004]

[tex]x^{2}[/tex]+5x+2-[tex]\frac{x^{2}+x-2}{x+2}[/tex]=0 |. (x+2)[tex]\ne[/tex]0
[tex]x^{3}[/tex]+5[tex]x^{2}[/tex]+2x-[tex]x^{2}[/tex]-x+2=0
[tex]x^{3}[/tex]+4[tex]x^{2}[/tex]+x+2=0
От формулите на Виет
[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]x_{1 }[/tex]+[tex]x_{2 }[/tex]+[tex]x_{3 }[/tex]+[tex]x_{4 }[/tex]=-4

Първо, неправилен първи преход.
$(x^2+5x+2)(x+2)\ne x^3+5x^2+2x$
Ако се извърши правилно, ще се получи кубично уравнение
$x^3+6x^2+11x+6=0,\;\; x\ne -2$
На което сборът от трите (а не четирите) корена е $-6$. И трябва да се проверява - колко от тях са $-2$, няма ли между другите комплексни (по подразбиране в училищните задачи става въпрос за реални числа). Тоест, така или иначе в случая трябва да се реши уравнението. Иначе, като се търси сбора от корените на полином Виет би могъл да свърши чудесна работа.

[S.B.]

Не ми прилича на реципрочно уравнение.По-скоро е обикновено дробно рационално уравнение,зa което X[tex]\ne[/tex] -2:
Тъй като [tex]x^{2}[/tex] + X -2 = (X + 2)(X - 1), след като се съкрати [tex]\frac{(X+2)(X-1)}{( X+2)}[/tex] на (X + 2)[tex]\ne[/tex]0 ,уравнението добива вида:

[tex]x^{2}[/tex] + 5.X + 2 - (X - 1) = 0
[tex]x^{2}[/tex] + 5.X +2 - X + 1 =0
[tex]x^{2}[/tex] + 4.X + 3=0 , корените на което са [tex]x_{1 }[/tex] = -3 ; [tex]x_{2 }[/tex] = -1
[tex]x_{1 }[/tex] + [tex]x_{2 }[/tex] = -4