Функции.ПУ-редовен

[nobadvibes]

Най-голямата и най-малката стойности на функцията
f(x)=6[tex]cos^{2}x[/tex]-5

[Hephaestus]

Косинусът е ограничена функция, [tex]cosx \in [-1;1][/tex].
Следователно [tex]cos^{2}x \in [0;1][/tex]
При това в интервала [tex][0;1][/tex] дадената функция е растяща [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]f_{min } = 0 - 5 = -5[/tex] (при минималната стойност на [tex]cos^{2}x[/tex], която е 0)
[tex]f_{max } = 6 - 5 = 1[/tex] (при максималната стойност на [tex]cos^{2}x[/tex], която е 1)

[nobadvibes]

Благодаря ти!


Искам да попитам също и за тази задача:
Даден е трапец
ABCD AB CD (||),който е описан около окръжност.Бедрата му имат дължини АD=8
и ВС= 5. Средната отсечка MN на трапеца разделя лицето му в отношение 3: 5.Намерете дължините на
основите и височината на трапеца.

[Hephaestus]

Нека означим основите [tex]AB = a, CD = b[/tex] [tex](a>b)[/tex]. А височината нека е [tex]CH = h[/tex] [tex](CH\bot AB)[/tex].
Трапецът е описан около окръжност, следователно [tex]AB + CD = AD + BC = 13[/tex], тоест [tex]a + b = 13[/tex].
Тогава средната отсечка е [tex]MN = \frac{a+b}{2} = \frac{13}{2}[/tex].
Ясно е, че средната отсечка в трапеца разполовява височината му.
Тогава от даденото отношение [tex]S_{MNCD } : S_{ABNM } = 3 : 5 \Rightarrow 5.S_{MNCD } = 3.S_{ABNM }, \Rightarrow[/tex]
[tex]5.\frac{13/2 + b}{2}.\frac{h}{2} = 3.\frac{a + 13/2}{2}.\frac{h}{2}[/tex], откъдето получаваме [tex]3a - 5b = 13[/tex].
Съставяме системата [tex]\begin{array}{|l} a + b = 13 \\ 3a - 5b = 13 \end{array}[/tex], чието решение ни дава [tex]b = \frac{13}{4}, a = \frac{39}{4}[/tex].
Основите са намерени, остава височината. Има различни подходи. Построяваме [tex]CQ || DA, CQ = DA( = 8)[/tex].
Единият начин е да изразим лицето на триъгълник [tex]CQB[/tex] по два начина - формулата на Херон и произведението на страната [tex]QB[/tex] [tex]( QB = a - b = \frac{13}{2})[/tex] и височината към нея, разделенo на две. Другият начин (по който аз смятам да подходя) е пък да намерим [tex]cos\angle QBC[/tex] чрез косинусовата теорема за триъгълник [tex]CQB[/tex], откъдето имаме [tex]cos\angle QBC = \frac{QB^{2} + BC^{2} - CQ^{2}}{2.QB.BC} = \frac{1}{20} >0 \Rightarrow \angle QBC[/tex] е остър (почти е прав даже).
От основното тригонометрично тъждество [tex]sin^{2}\angle QBC + cos^{2}\angle QBC = 1[/tex] получаваме [tex]sin\angle QBC = \frac{\sqrt{399}}{20}[/tex]. Същевременно [tex]sin\angle QBC = \frac{CH}{BC} \Rightarrow CH = h = \frac{\sqrt{399}}{20}.5 = \frac{\sqrt{399}}{4}[/tex].