Локален минимум и квадратно параметрично уравнение

[Demira]

Имам нужда от помощ с решението на следната задача:

В уравнението x^{2}+ax-2a-2=0 да се определи параметърът а така, че сумата от кубовете на корените му да има локален минимум. За тази стойност на параметъра да се реши квадратното уравнение.

Отг.: а=-2-[tex]\sqrt{2}[/tex] ; [tex]x_{1 },x_{2 } \notin[/tex] R

[Hephaestus]

[tex]x^{2} + ax - 2a - 2 = 0[/tex]
От формулите на Виет имаме [tex]x_{1 } + x_{2 } = -a[/tex] и [tex]x_{1 }.x_{2 } = -2a - 2[/tex]
Изразяваме сумата от кубовете на корените:
[tex]x_{1 }^{3} + x_{2 }^{3} = (x_{1 } + x_{2 })(x_{1 }^{2} - x_{1 }.x_{2 } + x_{2 }^{2}) =
(x_{1 } + x_{2 })(x_{1 }^{2} - x_{1 }.x_{2 } + x_{2 }^{2} - 2x_{1 }.x_{2 } + 2x_{1 }.x_{2 } ) = (x_{1 } + x_{2 })[ (x_{1 } + x_{2 })^2 - 3x_{1 }.x_{2} ][/tex]
Заместваме и получаваме [tex](-a)[a^2 - 3(-2a - 2)] = -a^3 - 6a^2 - 6a[/tex]. Означаваме [tex]y(a) = -a^3 - 6a^2 - 6a[/tex] и имайки предвид условието, трябва да намерим локалния минимум на това кубично уравнение.
За целта, намираме първата производна [tex]\Rightarrow y^{′}(a) = -3a^2 - 12a - 6 = 0 \Rightarrow D = 72 \Rightarrow a_{1,2 } = -2 \pm \sqrt{2}[/tex]
Следователно, локалните екстремуми са при [tex]a_{1 } = -2 + \sqrt{2}[/tex] и [tex]a_{2 } = -2 - \sqrt{2}[/tex].
При [tex]a_{1 } = -2 + \sqrt{2}[/tex] имаме локален максимум, защото първата производна си сменя знака от положителен в отрицателен.
При [tex]a_{2 } = -2 - \sqrt{2}[/tex] имаме локален минимум, защото първата производна си сменя знака от отрицателен в положителен.
Значи търсената стойност на [tex]a[/tex] e [tex]a = -2 - \sqrt{2}[/tex].
Квадратното уравнение, което се получава при тази стойност на а, е [tex]x^{2} + (-2 - \sqrt{2})x + 2 + 2\sqrt{2} = 0[/tex]
[tex]D = -2 - 4\sqrt{2} < 0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] уравнението няма реални корени ([tex]x_{1 },x_{2} \notin R[/tex]).