ТУ приемен изпит 2016г.

[yoanna]

да се намерят стойностите на реалния параметър к , за които уравнението [tex]x^{2} - (k+1)х +k^{2} +k -8=0[/tex] има два корена [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] , за които [tex]x_{1 } <2<x_{2 }[/tex]

[pal702004]

За да е изпълнено условието $x_1<2<x_2$ е необходимо и достатъчно $(2-x_1)(2-x_2)<0$
И, разбира се, дискриминантата да е положиетелна. Използвай формулите на Виет

[S.B.]

[tex]X^{2}[/tex] - (K+1) .X + [tex]K^{2}[/tex] + K - 8 = 0
За да има 2 различни корена е необходимо D>0
D= [tex](K+1)^{2}[/tex] -4.([tex]K^{2}[/tex] + K - 8) >0 или -3[tex]К^{2}[/tex] - 2К +33 >0
След решаване на неравенството се получава K [tex]\in[/tex] (-3,67;+3)
Нека F(X) = [tex]X^{2}[/tex] - (K + 1).X +[tex]K^{2}[/tex] + K - 8
От изискването[tex]X_{1 }[/tex] < 2 <[tex]X_{2 }[/tex] следва,че F(2) < 0 или
[tex]2^{2}[/tex] - (К + 1).2 + [tex]К^{2}[/tex] + К - 8 < 0
След решаване на това неравенство се получава K[tex]\in[/tex](-2;+3)
Така от K[tex]\in[/tex] (-3,67;+3) и K[tex]\in[/tex](-2;+3) получаваме окончателно K[tex]\in[/tex](-2;+3)

[pal702004]

Разбира се, условието $f(2)<0$ е равносилно на $(x_1-2)(x_2-2)<0$ и е по-просто.
Също така гарантира, че ще има реални корени, тоест изчисляването на дискриминантата е излишно.