Задача от математика 1 су 2017

[nenam]

Търся помощ за решаване на зад. 25 от математика 1 СУ, 2.04.2017.
Условието е: За триъгълник АВС центърът на вписаната окръжност е О и лицата на триъгълниците АОВ, ВОС и АОС са съответно 4, 9 и 11. Намерете страните на триъгълник АВС.

[Davids]

Лицето на всеки от дадените триъгълници е равно на съответната страна по радиуса върху две, следовстелно е ясно защо даденото отношение на лицата ни дава отношението на страните. Имаме $c:a:b = 4:9:11$. Означаваме всяка от страните чрез променлива и оттам имаме $p = 12x$. По Херонова формула приравняваме даденото лице:
$24 = \sqrt{12x.x.3x.8x} \Rightarrow x = \sqrt[4]{2}$
Оттам и страните са равни респективно на $a = 9\sqrt[4]{2}; b = 11\sqrt[4]{2}; c = 4\sqrt[4]{2}$

[KOPMOPAH]

Ако използваме стандартните означения, имаме $S_{AOB}=\frac {c.r}2$, следователно $c=\frac 8r$. Аналогично $a=\frac {18}r$ и $b=\frac {22}r$. Оттук, $p=\frac{a+b+c}2=\frac {24}r$, $p-a=\frac 6r$, $p-b=\frac 2r$ и $p-c=\frac {16}r$. Използвайки формулата на Херон за лице на триъгълник получаваме равенството $\sqrt{\frac {24}r\cdot\frac {6}r\cdot\frac {2}r\cdot\frac {16}r}=11+9+4$, откъдето намираме $r$, а оттам - съответно $a$, $b$ и $c$.