СУ - 1994

[Добромир Глухаров]

$\begin{array}{|l}log_xy+log_yx=2,5\\x^2-y^2=-2\end{array}$

Кой ще я реши "наум"?

Скрит текст: покажи

Отговор: $(\sqrt{2};2)$

[Davids]

ДС от откат: $x > 0; x \ne 1; y > 0; y \ne 1$
Полагаме в първото у-е $t = log_xy > 0$
Решаваме $t + \frac{1}{t} = 2,5 \Leftrightarrow 2t^2 - 5t + 2 = 0$
Решения са $t_1 = \frac{1}{2}; t_2 = 2$
При $t = \frac{1}{2}$ имаме $y = \sqrt{x}$
Следователно във второто уравнение получаваме $x^2 - x + 2 = 0$ с отрицателна дискриминанта и корени няма.
Остава $t = 2 \Rightarrow y = x^2$. Оттам
$x^4 - x^2 - 2 = 0$
Решения са $x = \pm \sqrt{2}$, от които само $x = \sqrt{2} \in ДС$
И остава $y = x^2 = 2$
Окончателен отоговoр $(\sqrt{2}; 2)$