Параметрични уравнения

[hyulia]

Ако а е реален параметър, намерете стойностите на а,за които уравнението има 4 реални различни корена
(а+6)x^{4}- 4(a-1)x^{2}+ 9(a+6)=0
Може ли някой да ми помогне с решаването на тази задача.

[Добромир Глухаров]

Това е биквадратно уравнение. Питаме се за кои стойности на а съответното квадратно уравнение ще има два несъвпадащи положителни корена.

[Добромир Глухаров]

$(a+6)x^4-4(a-1)x^2+9(a+6)=0$

За да бъде биквадратно (иначе ще има най-много два корена), трябва $a\neq-6$

$D_1=4(a-1)^2-9(a+6)^2=(2a-2+3a+18)(2a-2-3a-18)=(5a+16)(-a-20)>0$

$a\in(-20;-\frac{16}{5})$

$(x^2)_{1,2}>0$

$\begin{array}{|l}(x^2)_1.(x^2)_2>0\\(x^2)_1+(x^2)_2>0\end{array}$

Съгласно формулите на Виет:

$\begin{array}{|l}\frac{9(a+6)}{a+6}>0\\-\frac{-4(a-1)}{a+6}>0\end{array}$

$\frac{a-1}{a+6}>0$

$a\in(-\infty;-6)\cup(1;+\infty)$

Засичаме двата получени интервала: $x\in(-20;-6)$