Функция

[S.B.]

Дадена е функцията:
f(x) = [tex]x^{4}[/tex] + [tex]\frac{d_{1 }}{2}[/tex].[tex]x^{2}[/tex] + [tex]\frac{d_{2 }}{2}[/tex] ,където [tex]d_{2 }[/tex] > [tex]d_{1 }[/tex]
Да се намерят най-голямата и най-малката стойност на f(x) когато х[tex]\in[/tex][- 2, 3] , ако [tex]d_{1 }[/tex] и [tex]d_{2 }[/tex] са диагонали на трапец ABCD със средна отсечка MN = 7 см , височина h = [tex]\frac{15\sqrt{3}}{7}[/tex] и ъгъл между диагоналите = 120[tex]^\circ[/tex]

[Davids]

Дадена е функцията:
f(x) = [tex]x^{4}[/tex] + [tex]\frac{d_{1 }}{2}[/tex].[tex]x^{2}[/tex] + [tex]\frac{d_{2 }}{2}[/tex] ,където [tex]d_{2 }[/tex] > [tex]d_{1 }[/tex]
Да се намерят най-голямата и най-малката стойност на f(x) когато х[tex]\in[/tex][- 2, 3] , ако [tex]d_{1 }[/tex] и [tex]d_{2 }[/tex] са диагонали на трапец ABCD със средна отсечка MN = 7 см , височина h = [tex]\frac{15\sqrt{3}}{7}[/tex] и ъгъл между диагоналите = 120[tex]^\circ[/tex]

Първо ще трябва да намерим диагоналите. Заемаме се. Построяваме $CC_1 || BD; C_1 \in AB$. Получаваме триъгълник $AC_1C$ със страни $AC_1 = a + b = 2.MN = 14$, $d_1$ и $d_2$ с ъгъл между последните две - $120^{\circ}$. Правим система от косинусова теорема и формула за лице, от която ще намерим диагоналите:
$\begin{array}{|l} AC_1^2 = 196 = d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2cos120 = d_1^2 + d_2^2 + d_1d_2 \\ S = \frac{AC_1.h}{2} = 15\sqrt{3} = \frac{d_1d_2sin120}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}d_1d_2 \Rightarrow d_1d_2 = 60 \end{array}$
Представяме първото уравнение по следния начин и заместваме:
$196 + d_1d_2 = 256 = d_1^2 + 2d_1d_2 + d_2^2 = (d_1 + d_2)^2 \Rightarrow d_1 + d_2 = 16$
И понеже ни е дадено $d_2 > d_1$, веднага извеждаме $d_1 = 6; d_2 = 10$
Функцията придобива вида:
$f(x) = x^4 + 3x^2 + 5$
Интересува ни евентуалното наличие на локални екстремуми в интервала [-2; 3]. Извеждаме първа производна:
$f'(x) = 4x^3 + 3x = x(4x^2 + 3)$
Единствена нула и също точка на промяна на знака е $x = 0$ и понеже производната сменя знака си от минус на плюс, то значи $x = 0$ е локален минимум за $f(x)$. Следователно $f(x)_{min} = f(0) = 5$, а лесно се намира вече $f(x)_{max} = f(3) = 113$