На вниманието на кандидат студентите

[S.B.]

Да се реши уравнението:
cotgx + lg(1 + [tex]2^{cotgx}[/tex]) = cotgx . lg5 + lg6
и да се определи стойността на параметъра 'a' в уравнението:
2[tex]cos^{2}[/tex]x + (1 - a) sinx.cosx + 2(2a - 5)[tex]sin^{2}[/tex]x = 1
така,че двете уравнения да бъдат еквивалентни.

[Nathi123]

[tex]cotgx +lg(1+2^{cotgx})=cotgxlg5+lg6 ; x\ne k\pi ; k\in Z; (1)[/tex]
[tex]lg10^{cotgx}+lg(1+2^{cotgx})=lg5^{cotgx}+lg6 \Leftrightarrow lg10^{cotgx}(1+2^{cotgx})=lg6.5^{cotgx};x\ne k\pi ; k\in Z[/tex]
[tex]10^{cotgx}+20^{cotgx}=6.5^{cotgx}|:5^{cotgx}>0\Leftrightarrow 2^{cotgx}+4^{cotgx}-6=0\Leftrightarrow 2^{2cotgx}+2^{cotgx}-6=0[/tex]
Нека [tex]2^{cotgx}=t\Rightarrow t>0\Rightarrow t^{2}+t-6=0\Rightarrow t=-3\notin D_{t }\cup t=2\Rightarrow 2^{cotgx}= 2[/tex]
[tex]\Rightarrow cotgx =1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi ; k\in Z[/tex]
[tex]2cos^{2}x+(1-a)sinxcosx+2(2a-5)sin^{2}x=1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2cos^{2}x+(1-a)sinxcosx+2(2a-5)sin^{2}x=cos^{2}x+sin^{2}x[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cos^{2}x+(1-a)sinxcosx +(4a - 11)sin^{2}x=0 |: sin^{2}x \ne 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cotg^{2}x+ (1-a) cotgx +4a - 11 =0[/tex] (2)
Уравненията (1) и (2) са еквивалентни ,ако cotgx =1 [tex]\Leftrightarrow 1+1-a +4a -11 = 0 \Leftrightarrow a = 3 .[/tex]