За тези които харесват правоъгълните триъгълници

[S.B.]

В правоъгълния [tex]\triangle[/tex]ABC,височината към хипотенузата е CH.Периметрите на [tex]\triangle[/tex]ACH и [tex]\triangle[/tex]BCH са съответно 36 и 48.Да се намерят страните на [tex]\triangle[/tex]ABC.

[Петър Евгениев]

Здравей, интересна задача, моето решение е далеч от елегантно предполагам, 100% ще пуснат по-добро ама хайде да пусна и аз.
Всичко стандартно означено.
Използвам ортогонални проекции, които могат да се докажат лесно.
Катетите са средногеометрични на проекцията на дадения катет и хипотенузата , а височината е средногеометрична на двете проекции.
[tex]a^{2}=BH.c[/tex]
[tex]b^{2}=AH.c[/tex]
[tex]c^{2}=AH.BH[/tex],
[tex]CH=\frac{ab}{c}[/tex]
[tex]AH=\frac{b^{2}}{c} , BH=\frac{a^{2}}{c}[/tex]
[tex]a^{2}+b^{2}=c^{2}[/tex](Ясно е ама да кажа) Питагорчо е тва.
[tex]\frac{b^{2}}{c}+\frac{ab}{c}+b=36[/tex]- Периметъра на триъгълник AHC
[tex]\frac{a^{2}}{c}+\frac{ab}{c}+a=48[/tex]
Съответно двете уравнения леко ги опростявам
[tex]b(a+b+c)=36c[/tex]
[tex]a(a+b+c)=48c[/tex]
Слагаме ги в система с Питагор
т.е
\begin{array}{|l} b(a+b+c)=36c\\ a(a+b+c)=48c\\a^{2}+b^{2}=c^{2} \end{array}
Малко гадничка система ама тройката решения които удовлетворяват страни на триъгълник съответно [tex]a=20, b=15, c=25[/tex]

[Davids]

П.П.: Аз вместо периметри съм ги взимал за лица от недоглеждане... Е нищо, пак е вариант на задача
____________________________________
Подкарваме метричните зависимости в правоъгълен триъгълник и съставяме системата:
[tex]\begin{array}{|l} hb' = 72 \\ ha' = 96 \\ h^2 = a'b' \end{array}[/tex]
Следователно, умножавайки първите две и замествайки после третото равенство в новополученото, достигаме до:
$h^4 = 72.96 = 2^2.36.48 = 2^4.9.3.16 = 4^4.3^3$
$\Rightarrow h = 4\sqrt[4]{3^3} = 4.3^{\frac{3}{4}}$
Сега намираме проекциите:
$a' = \frac{72}{4.3^{\frac{3}{4}}} = \frac{18}{3^{\frac{3}{4}}} = 6.3^1.3^{\frac{3}{4}} = 6.3^{\frac{1}{4}} = 6\sqrt[4]{3}$
$b' = \frac{96}{4.3^{\frac{3}{4}}} = \frac{24}{3^{\frac{3}{4}}} = 8.3^1.3^{\frac{3}{4}} = 8.3^{\frac{1}{4}} = 8\sqrt[4]{3}$

И сега намираме страните:
$c = a' + b' = 14\sqrt[4]{3}$
$a = \sqrt{a'c} = \sqrt{6.3^{\frac{1}{4}}.14.3^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{4.21.\sqrt{3}} = 2\sqrt{21\sqrt{3}}$
$b = \sqrt{b'c} = \sqrt{8.3^{\frac{1}{4}}.14.3^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{16.7.\sqrt{3}} = 4\sqrt{7\sqrt{3}}$

[KOPMOPAH]

Нека и аз да съм от любителите на правоъгълни триъгълници.
Щом като периметрите на $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$ (които, както знаем, са подобни) се отнасят както $36:48=3:4$, значи и съответните им страни се отнасят така. Ако отбележим $AH=x$ от метричните зависимости имаме $CH^2=AH.BH$, откъдето $CH=\frac 43 x$. За $\triangle AHC$ се получават страни $AH=x$, $CH=\frac 43 x$ и $AC=\frac 53 x$, по условие $AH+CH+AC=36$ , откъдето $x=9, AC=15$ и нататък кълбото се разплита. В момента, когато в правоъгълен триъгълник се появи Питагоровата тройка $(3;4;5)$, нещата са ясни.

[pal702004]

Височината към хипотенузата разделя триъгълника на 2 подобни на него. Щом като периметрите им се отнасят $36:48=3:4$, значи и съответните им страни (катетите на големия) се отнасят така, или страните са $(3t,4t,5t)$
И за периметрите
$P:p_1=5:3$

$\frac{P}{36}=\frac 5 3\Rightarrow P=60$

$3t+4t+5t=60\Rightarrow t=5$

$(15,20,25)$

[123a]

[tex]\triangle[/tex] AHC $\approx$ $\triangle$ BHC.
$\frac{P_{AHC}}{P_{BHC}}=\frac{AC}{BC}$$=>AC=3x, BC=4x =>AB=5x=> CH=\frac{12}{5}x$
От периметъра на BHC лесно се намира,че x=5. Страните са 15,20 и 25.

[pal702004]

Мда, в рамките на 1 минута пуснахме 3 еднотипни решения

[S.B.]

Мда, в рамките на 1 минута пуснахме 3 еднотипни решения

Да така е и благодаря на всички любители на правоъгълните триъгълници!Но аз постнах задачата защото исках да видя нещо по-различно от моето решение и постигнах целта си!

[S.B.]

А ето и моето решение:
Нека [tex]\angle[/tex]A=[tex]\alpha[/tex] и AB=c;
AH + AC + CH = 36 (1)
BH + BC + CH = 48 (2)
От [tex]\triangle[/tex]ABC: [tex]\frac{AC}{c}[/tex] = cos[tex]\alpha[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] AC = c.cos[tex]\alpha[/tex] ; [tex]\frac{CB}{c}[/tex] = sin[tex]\alpha[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] BC= c.sin[tex]\alpha[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]AHC : [tex]\frac{AH}{AC}[/tex] = cos[tex]\alpha[/tex] [tex]\rightarrow[/tex]AH = AC.cos[tex]\alpha[/tex] или AH = c.[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] ,[tex]\frac{CH}{AC}[/tex]= sin[tex]\alpha[/tex] и CH = AC.sin[tex]\alpha[/tex] [tex]\rightarrow[/tex]CH=c.sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]BHC : [tex]\frac{BH}{BC}[/tex]= sin[tex]\alpha[/tex] и BH = BC.sin[tex]\alpha[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] BH= c.[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]
замествам в уравненията (1) и (2) и получавам:
c.[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] + c.cos[tex]\alpha[/tex] + c.sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex] = 36
c.[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] + c.sin[tex]\alpha[/tex] + c.sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex] = 48

c.cos[tex]\alpha[/tex](cos[tex]\alpha[/tex] + sin[tex]\alpha[/tex] +1) = 36
c.sin[tex]\alpha[/tex](cos[tex]\alpha[/tex] + sin[tex]\alpha[/tex] + 1) = 48
деля почленно и получавам cotg[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{3}{4}[/tex] комбинирам с [tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] + [tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]= 1 и получавам
sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex],cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{3}{5}[/tex] и c=25 от където окончателно АB=25,AC=15,BC=20