За вас кандидат студенти

[S.B.]

Дадено е уравнението:
2[tex]x^{2}[/tex] - 2(2cos[tex]\alpha[/tex] - 1)x + 2[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] - 5cos[tex]\alpha[/tex] - 1 = 0
a) за кои стойности на [tex]\alpha[/tex] уравнението има реални корени?
б) ако [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] са корени на уравнението,да се изрази:
F([tex]\alpha[/tex]) = [tex]\frac{x_{1 }^{2} + x_{2 }^{2}}{x_{1 } + x_{2 }}[/tex] като функция на [tex]\alpha[/tex] и да се намери стойността й ако:
sin[tex]\alpha[/tex] =[tex]\frac{4}{5}[/tex] и [tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex][[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] , [tex]\pi[/tex]]

[S.B.]

a) 2[tex]x^{2}[/tex] - 2(2cos[tex]\alpha[/tex] - 1)x + 2[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] - 5cos[tex]\alpha[/tex] - 1 = 0
За да има реални корени D[tex]\ge[/tex]0
D = 4[tex](2cos\alpha - 1)^{2}[/tex] - 8(2[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] - 5cos[tex]\alpha[/tex] - 1)=4(4[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] -4cos[tex]\alpha[/tex] + 1 -4[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+ 10cos[tex]\alpha[/tex] + 2) =4(6cos[tex]\alpha[/tex] + 3)[tex]\ge[/tex]0
4(6cos[tex]\alpha[/tex] + 3)[tex]\ge[/tex] 0 [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\alpha[/tex][tex]\ge[/tex] - [tex]\frac{1}{2}[/tex]
cos[tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex][ -[tex]\frac{1}{2}[/tex] , 1] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex][0 + 2k[tex]\pi[/tex] ; [tex]\frac{2\pi}{3}[/tex] + 2к[tex]\pi[/tex]][tex]\cup[/tex] [[tex]\frac{4\pi}{3}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] ; 2[tex]\pi[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex]]
б) F([tex]\alpha[/tex]) = [tex]\frac{x_{1 }^{2} + x_{2 }^{2}}{x_{1 } + x_{2 }}[/tex] =[tex]\frac{(x_{1 } + x_{2 }) ^{2} - 2x_{1 }.x_{2 }}{x_{1 } + x_{2 }}[/tex] (1)
От уравнението според Виет : [tex]x_{1 }[/tex] + [tex]x_{2 }[/tex] = 2cos[tex]\alpha[/tex] - 1 и [tex]x_{1 }[/tex].[tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{2cos^{2}\alpha - 5cos\alpha - 1}{2}[/tex] след зместване в (1) се получава:
F([tex]\alpha[/tex]) = [tex]\frac{(2cos\alpha - 1)^{2} - (2cos^{2}\alpha - 5cos\alpha -1)}{2cos\alpha - 1}[/tex] от където след преработка:
F([tex]\alpha[/tex]) = [tex]\frac{2cos^{2}\alpha + cos\alpha + 2}{2cos\alpha -1}[/tex] по условие sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] и [tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex][[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] ; [tex]\pi[/tex]] от [tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] + [tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] = 1 се получава cos[tex]\alpha[/tex] = -[tex]\frac{3}{5}[/tex] като се замести и пресметне се получава:
F([tex]\alpha[/tex]) = -[tex]\frac{53}{55}[/tex]

[Петър Евгениев]

a) 2[tex]x^{2}[/tex] - 2(2cos[tex]\alpha[/tex] - 1)x + 2[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] - 5cos[tex]\alpha[/tex] - 1 = 0
За да има реални корени D[tex]\ge[/tex]0
D = 4[tex](2cos\alpha - 1)^{2}[/tex] - 8(2[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] - 5cos[tex]\alpha[/tex] - 1)=4(4[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] -4cos[tex]\alpha[/tex] + 1 -4[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+ 10cos[tex]\alpha[/tex] + 2) =4(6cos[tex]\alpha[/tex] + 3)[tex]\ge[/tex]0
4(6cos[tex]\alpha[/tex] + 3)[tex]\ge[/tex] 0 [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\alpha[/tex][tex]\ge[/tex] - [tex]\frac{1}{2}[/tex]
cos[tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex][ -[tex]\frac{1}{2}[/tex] , 1] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex][0 + 2k[tex]\pi[/tex] ; [tex]\frac{2\pi}{3}[/tex] + 2к[tex]\pi[/tex]][tex]\cup[/tex] [[tex]\frac{4\pi}{3}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] ; 2[tex]\pi[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex]]
б) F([tex]\alpha[/tex]) = [tex]\frac{x_{1 }^{2} + x_{2 }^{2}}{x_{1 } + x_{2 }}[/tex] =[tex]\frac{(x_{1 } + x_{2 }) ^{2} - 2x_{1 }.x_{2 }}{x_{1 } + x_{2 }}[/tex] (1)
От уравнението според Виет : [tex]x_{1 }[/tex] + [tex]x_{2 }[/tex] = 2cos[tex]\alpha[/tex] - 1 и [tex]x_{1 }[/tex].[tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{2cos^{2}\alpha - 5cos\alpha - 1}{2}[/tex] след зместване в (1) се получава:
F([tex]\alpha[/tex]) = [tex]\frac{(2cos\alpha - 1)^{2} - (2cos^{2}\alpha - 5cos\alpha -1)}{2cos\alpha - 1}[/tex] от където след преработка:
F([tex]\alpha[/tex]) = [tex]\frac{2cos^{2}\alpha + cos\alpha + 2}{2cos\alpha -1}[/tex] по условие sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] и [tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex][[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] ; [tex]\pi[/tex]] от [tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] + [tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] = 1 се получава cos[tex]\alpha[/tex] = -[tex]\frac{3}{5}[/tex] като се замести и пресметне се получава:
F([tex]\alpha[/tex]) = -[tex]\frac{53}{55}[/tex]

Благодаря, че пускаш такива задачи!