Конкурсен изпит в СУ , 22.07.1999 г.задача 3

[S.B.]

Дадено е уравнението: 3[tex]x^{2}[/tex] - (6а + 1)х + [tex]а^{2}[/tex] + 6а -3 = 0,където а е реален параметър.
а) Да се докаже,че числото [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението;
б) Да се намерят стойностите на а , за които уравнението има реален корен u, такъв,че стойността на I u - [tex]\sqrt{2}[/tex] I е най - малка.

[Добромир Глухаров]

На б) подточка отговорът $a=3(\sqrt{2}-1)$ ли е?

[S.B.]

На б) подточка отговорът $a=3(\sqrt{2}-1)$ ли е?

Не , а=1.

[S.B.]

Отговорите се получават,но аз не съм много сигурна дали мога да ползвам този метод.Моля за мнението ви!
а)3[tex]x^{2}[/tex] - (6а + 1)х + [tex]а^{2}[/tex] + 6а -3 =0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]а^{2}[/tex] + 6(1 - х)а + 3[tex]x^{2}[/tex] - х - 3 = 0
а е реален корен на квадратно уравнение с реални коефициенти когато D[tex]\ge[/tex]0
D= [tex]6^{2}[/tex][tex](1 - x)^{2}[/tex] - 4(3[tex]x^{2}[/tex] - x - 3) = 4(6[tex]x^{2}[/tex] - 17x + 12)[tex]\ge[/tex]0
х[tex]\in[/tex](- [tex]\infty[/tex] ; [tex]\frac{4}{3}[/tex]] [tex]\cup[/tex] [ [tex]\frac{3}{2}[/tex] ; +[tex]\infty[/tex])
[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\in[/tex]([tex]\frac{4}{3}[/tex] ; [tex]\frac{3}{2}[/tex] ) т.е. за [tex]\sqrt{2}[/tex] уравнението няма реални корени и (мисля,но не съм сигурна!)че тогава [tex]\sqrt{2}[/tex] не би трябвало да е корен на първоначалното уравнение.
б)[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\in[/tex]([tex]\frac{4}{3}[/tex] ; [tex]\frac{3}{2}[/tex]) ; х [tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] [tex]\frac{4}{3}[/tex]] [tex]\cup[/tex] [[tex]\frac{3}{2}[/tex] , +[tex]\infty[/tex]) следователно може да се приеме [tex]u_{1 }[/tex]=[tex]\frac{4}{3}[/tex] и [tex]u_{2 }[/tex]=[tex]\frac{3}{2}[/tex]
I [tex]u_{1 }[/tex] - [tex]\sqrt{2}[/tex]I = I [tex]\frac{4}{3}[/tex] - [tex]\sqrt{2}[/tex]I = I - 0,0808 I = 0,0808
I[tex]u_{2 }[/tex] - [tex]\sqrt{2}[/tex] I = I [tex]\frac{3}{2}[/tex] - [tex]\sqrt{2}[/tex]I = I 0,0857 I = o,o857 Очевидно I [tex]\frac{4}{3}[/tex] - [tex]\sqrt{2}[/tex] I < I[tex]\frac{3}{2}[/tex] - [tex]\sqrt{2}[/tex] I и търсената стойност на u=[tex]\frac{4}{3}[/tex];
Замествам х = u =[tex]\frac{4}{3}[/tex] в уравнението :[tex]а^{2}[/tex] + 6(1 - х).а + 3[tex]x^{2}[/tex] - х - 3 =0 и получавам [tex]а^{2}[/tex] - 2а + 1 =0 от където а=1

[ptj]

Метода си е наред и решението е отлично.

[S.B.]

Метода си е наред и решението е отлично.

Благодаря