За обема на една пирамида и още нещо...

[S.B.]

Нека r и [tex]\varphi[/tex] са съответно радиуса на вписаната сфера и двустенният ъгъл при основата на правилна шестоъгълна пирамида.Да се намери обема V на пирамидата и да се докаже неравенството : V[tex]\ge[/tex] [tex]\frac{16\sqrt{3}}{3}[/tex]. [tex]r^{3}[/tex]

[Nathi123]

ABCDEFР - правилна шестоъгълна пирамида с основа правилен шестоъгълник ABCDEF; точка О - център на вписаната в шестоъг. окръжност.
[tex]\Rightarrow PO\bot (A,B.C)[/tex] . Построяваме [tex]ОН \bot АВ \Rightarrow PH \bot AB[/tex] (т-ма за трите перпенд.)
[tex]\Rightarrow \angle OHP= \varphi[/tex] . Нека точка М е център на вписаната в пирамидата сфера .
[tex]\Rightarrow M\in PO \Rightarrow MO = r ; \angle OHM = \angle MHP = \frac{\varphi}{2}[/tex] . Нека АВ = х
[tex]\Rightarrow OH = \frac{x\sqrt{3}}{2} ; \triangle MOH \Rightarrow \frac{MO}{OH}=tg\frac{\varphi}{2} \Rightarrow \frac{2r}{x\sqrt{3}}=tg\frac{\varphi}{2}\Rightarrow x=\frac{2rcotg\frac{\varphi}{2}}{\sqrt{3}}[/tex].
[tex]\triangle POH \Rightarrow \frac{PO}{OH} = tg\varphi \Rightarrow PO = OHtg\varphi =rcotg\frac{\varphi}{2}tg\varphi[/tex]
[tex]S_{ABCDEF }=6S_{AOB }= \frac{3x^{2}\sqrt{3}}{2}=2r^{2}\sqrt{3}cotg^{2}\frac{\varphi}{2}\Rightarrow V=\frac{2r^{3}\sqrt{3}cotg^{3}\frac{\varphi}{2}tg\varphi}{3}[/tex] .
[tex]tg\varphi cotg^{3}\frac{\varphi}{2}=\frac{2tg\frac{\varphi}{2}}{(1-tg^{2}\frac{\varphi}{2})tg^{3}\frac{\varphi}{2}}=\frac{2}{(1-tg^{2}\frac{\varphi}{2})tg^{2}\frac{\varphi}{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow V=\frac{4r^{3}\sqrt{3}}{3(1-tg^{2}\frac{\varphi}{2})tg^{2}\frac{\varphi}{2}}[/tex].
Да означим [tex]tg^{2}\frac{\varphi}{2} = t \Rightarrow t\in (0,1) . f(t)=t-t^{2}\Rightarrow[/tex] V е най-малък,когато f(t) има най- голяма стойност.
[tex]f_{max }=f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}\Rightarrow V\ge \frac{16r^{3}\sqrt{3}}{3}[/tex].

[S.B.]

Тази задача я решавам вече за 1001 пъти и получавам все едно и също нещо!
Нека пирамидата е ABCDEFP,където P e върхът,а ABCDEF основата ,правилен шестоъгълник,диагоналите на който се пресичат в т.H.PN и PM са апотемите на околните стени DPC и APF .По двте апотеми построявам равнина,която пресича пирамидата в [tex]\triangle[/tex]MNP;PH[tex]\bot[/tex]MN;т.О [tex]\in[/tex]PH е център на вписаната сфера,като OH = r;[tex]\angle[/tex]HNP = [tex]\varphi[/tex];MH = NH са апотемите на основата.Ако приемем,че основният ръб = а,тогава NH = [tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]OHN : [tex]\frac{OH}{HN}[/tex] = tg[tex]\frac{\varphi}{2}[/tex] или [tex]\frac{r}{HN}[/tex]=tg[tex]\frac{\varphi}{2}[/tex] или r = [tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]tg[tex]\frac{\varphi}{2}[/tex] от където се получава a=[tex]\frac{2\sqrt{3}.r}{3tg\frac{\varphi}{2}}[/tex];HN = [tex]\frac{r}{tg\frac{\varphi}{2}}[/tex];
От [tex]\triangle[/tex]NHP: PH = HN.tg[tex]\varphi[/tex] или PH = [tex]\frac{r}{tg\frac{\varphi}{b2}}[/tex].tg[tex]\varphi[/tex]= [tex]\frac{r}{tg\frac{\varphi}{2}}[/tex].[tex]\frac{2tg\frac{\varphi}{2}}{1 - tg^{2}\frac{\varphi}{2}}[/tex] или PH = [tex]\frac{2r}{1 - tg^{2}\frac{\varphi}{2}}[/tex]
[tex]B_{осн }[/tex] = 6.[tex]а^{2}[/tex].[tex]\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex] или [tex]B_{осн }[/tex] = [tex]\frac{2\sqrt{3}r^{2}}{tg^{2}\frac{\varphi}{2}}[/tex] V=[tex]\frac{1}{3}[/tex].PH.[tex]B_{осн }[/tex] или V = [tex]\frac{4\sqrt{3}.r^{3}}{3}[/tex] .[tex]\frac{1}{tg^{2}\frac{\varphi}{2} - tg^{4}\frac{\varphi}{2}}[/tex]
0<[tex]\varphi[/tex]<[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 0 <[tex]\frac{\varphi}{2}[/tex] < [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] Нека tg[tex]\frac{\varphi}{2}[/tex] = t тогава t[tex]\in[/tex] ( 0 , 1 ); Нека [tex]\frac{4\sqrt{3}r^{3}}{3}[/tex] = C, и F(t) = [tex]\frac{1}{t^{2} - t^{4}}[/tex] тогава V = V(t) = C.F(t)
V'(t) = C.F'(t) = [tex]\frac{-4C(\frac{1}{2}- t^{2})}{t^{3}(1 - t^{2})^{2}}[/tex][tex]\ge[/tex]0 Понеже t>0 t[tex]\ne[/tex]1, то знаменателят е положителен;-4C<0,следователно ([tex]\frac{1}{2}[/tex] - [tex]t^{2}[/tex])[tex]\le[/tex]0
([tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] - t)([tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] + t)[tex]\le[/tex]0 и t[tex]\in[/tex](0 , 1) следва,че за t[tex]\in[/tex](0,[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]) - V(t) расте,за t=[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] има максимум и за t([tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex],1) - намалява
[tex]V_{max }[/tex] = V([tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]) = [tex]\frac{16\sqrt{3}}{3}[/tex].[tex]r^{3}[/tex] ,която е най - голямата стойност за V
и тогава V[tex]\le[/tex][tex]\frac{16\sqrt{3}}{3}[/tex].[tex]r^{3}[/tex] ,а не както е казано V[tex]\ge[/tex][tex]\frac{16\sqrt{3}}{3}[/tex].[tex]r^{3}[/tex]

[S.B.]

Nathi123,хиляди благодарности!Видях си грешката и сега мога да спя спокойно!