Екстремална задача

[S.B.]

В правоъгълния [tex]\triangle[/tex]ABC,където [tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex],е вписана окръжност,която се допира до хипотенузата AB в т.K.Нека AB=12 см и AK=X см.За коя стойност на X , [tex]S_{ABC }[/tex] е най-голямо?

[Nathi123]

Ще докажа,че [tex]S=AK.BK[/tex] При стандартните означения за страните на триъг.АВС
[tex]\Rightarrow AK=p-a,BK=p-b\Rightarrow AK.BK=(p-a)(p-b)=p^{2}-(a+b)p+ab=p(p-a-b)+2S=2S-(p-c).p=2S-pr=S[/tex]
[tex]\Rightarrow S=AK.BK=x.(12-x); x>0;12-x>0\Rightarrow \frac{x+12-x}{2}\ge\sqrt{x(12-x)}.[/tex]
( от неравенство между средно аритм и средно геометрично).
[tex]\Rightarrow S\le 36[/tex] ,като равенство се достига [tex]\Rightarrow x=12-x\Leftrightarrow x=6 \Rightarrow[/tex]
При K-среда на АВ S е най-голямо.

[ева]

С Питагор изразих r чрез -х. т.е. r=-6+[tex]\sqrt{36+12х-x^{2}}[/tex]
S=[tex]\frac{AC.BC}{2}[/tex]=...=[tex]\frac{12х-x^{2}+12r+r^{2}}{2}[/tex]=...=2(-[tex]x^{2}[/tex]+12х+18)
х принадлежи от 1 до 11 ; при х=6 [tex]\Rightarrow[/tex] S=108 [108 е максимума ] [tex]\Rightarrow[/tex] х=6

[ева]

Моят начин иска доста писане.Искам да знам-биха ли го зачели ?

[ева]

Намерих си грешките (само-2!) правилното е : S=-[tex]x^{2}[/tex]+12х Лицето е ф-я на х. [tex]\Rightarrow[/tex] при х=6 получаваме S=-36+72=36 (както е получил Nathi ).

[S.B.]

Благодаря на всички за мненията и най - вече на NATHI 123!
Аз също имам своето решение:
Целта ми е била да представя [tex]S_{ABC }[/tex] като функция на Х.Нека r e радиуса на вписаната окръжност.
S=[tex]\frac{AC.BC}{2}[/tex] = [tex]\frac{(X + r)(12 - X +r)}{2}[/tex] = [tex]\frac{12X - X^{2} + Xr + 12r - Xr + r^{2}}{2}[/tex] = [tex]\frac{(12 - X).X + (12 +r).r}{2}[/tex]
Но S = p.r =( X + 12 - X + r).r = (12 + r).r или S = (12 + r).r ,което замествам в
S= [tex]\frac{(12 - X).X + (12 + r).r}{2}[/tex] и получавам: S = [tex]\frac{(12 - X).X + S}{2}[/tex] от където S = (12 -X).X
получи се S(x) = -[tex]x^{2}[/tex] + 12.x; S'(x) = -2x + 12 и от S'(x) = 0 , x=6 [tex]\Rightarrow[/tex] за х=6 съществува екстремум;
S"(x) = -2<0 [tex]\rightarrow[/tex] за х=6 S(x) приема максимална стойност
[tex]S_{max }[/tex] = - [tex]6^{2}[/tex] + 12.6 = -36 + 72 =36

[S.B.]

Ще докажа,че [tex]S=AK.BK[/tex] При стандартните означения за страните на триъг.АВС
[tex]\Rightarrow AK=p-a,BK=p-b\Rightarrow AK.BK=(p-a)(p-b)=p^{2}-(a+b)p+ab=p(p-a-b)+2S=2S-(p-c).p=2S-pr=S[/tex]
[tex]\Rightarrow S=AK.BK=x.(12-x); x>0;12-x>0\Rightarrow \frac{x+12-x}{2}\ge\sqrt{x(12-x)}.[/tex]
( от неравенство между средно аритм и средно геометрично).
[tex]\Rightarrow S\le 36[/tex] ,като равенство се достига [tex]\Rightarrow x=12-x\Leftrightarrow x=6 \Rightarrow[/tex]
При K-среда на АВ S е най-голямо.

Решението ти наистина е уникално!Класика!