Най-голяма околна повърхнина

[ева]

В кълбо с радиус-R са вписани прави кръгови конуси.Намерете височината на този конус,който има най-голяма околна повърхнина.

[ptj]

Нека [tex]\alpha[/tex] e ъгъла между отсечката, свързваща центъра на сферата с ортогоналната и проекция в основата на цилиндъра, и коя да е отсечка, свързваща центъра на сферата с точка от периферията на основата на цилиндъра (окръжността).
Обиколката на основата (окръжността) на цилиндъра е [tex]2\pi Rsin\alpha[/tex].
Височината в околната стена (разстоянието между основите) на цилиндъра е [tex]2Rcos\alpha[/tex].
[tex]S=2\pi Rsin\alpha.2Rcos\alpha=2\pi R^2sin(2\alpha)[/tex], сл. максимума е при [tex]\alpha=45^\circ[/tex]

[ева]

Как започваме разсъжденията ?

[ева]

Защо разглеждаме цилиндър и колко е височината, която търсим ?

[ptj]

Защото не съм прочел правилно условието.
-------------------------------------------
При конус решението е аналогично.

Апотемата е [tex]h=R\sqrt{2(1+cos\alpha)}[/tex].
Обиколката на основата е [tex]p=2\pi R sin\alpha.[/tex]

[tex]S=\frac{ph}{2}=\pi R^2 sin\alpha\sqrt{2(1+cos\alpha)}=\pi R^2 sin\alpha\sqrt{4cos^2(\frac{\alpha}{2})}=2\pi R^2 sin\alpha.cos(\frac{\alpha}{2})=[/tex]

[tex]=\pi R^2 sin\alpha.cos(\frac{\alpha}{2})=2\pi R^2 sin\alpha.cos(\frac{\alpha}{2})=4\pi R^2sin\frac{\alpha}{2}(1-sin^2\frac{\alpha}{2})[/tex]

[tex]f(\alpha)=-sin^3\frac{\alpha}{2}+sin\frac{\alpha}{2}[/tex]

[tex]f'(\alpha)=\big(-sin^3\frac{\alpha}{2}+sin\frac{\alpha}{2} \big)'=-\frac{3}{2} sin^2\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{2}=0\Rightarrow sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow cos\alpha=\frac{1}{3}\Rightarrow tg\alpha=2[/tex]

[tex]f''(\alpha)<0[/tex] сл. имаме максимум на околната повърхнина.

[tex]\frac{R(1+cos\alpha)}{Rsin\alpha}=\frac{3+1}{2} \Leftrightarrow[/tex] Околната повърхнина е максимална, когато височината в конуса е равна на диаметъра на основата.

Височината е [tex]\frac{4R}{3}[/tex].

[S.B.]

Разглеждам сечението на конуса [tex]\triangle[/tex] ABC - равнобедрен с основа AB=2r,като r e радиус на основата на конуса;[tex]\triangle[/tex]ABC е вписан в големия кръг на кълбото;CD=2R - диаметър на кълбото;CD[tex]\bot[/tex]AB и CD пресича AB в т.P;CP =h ,CB= l
Разглеждам [tex]\triangle[/tex]CDB,правоъгълен (CD - диаметър):[tex]BP^{2}[/tex] = CP.PD или [tex]r^{2}[/tex] = h.(2R -h) от където r = [tex]\sqrt{h(2R - h)}[/tex]
[tex]CB^{2}[/tex] = [tex]CP^{2}[/tex] + [tex]PB^{2}[/tex] или [tex]l^{2}[/tex] = [tex]h^{2}[/tex] + [tex]r^{2}[/tex] (по Питагор) от където : l = [tex]\sqrt{r^{2} + h^{2}}[/tex] след заместване на r и преработка : l = [tex]\sqrt{2Rh}[/tex]
S = [tex]\pi[/tex]r.l или S(h) = [tex]\pi[/tex][tex]\sqrt{4R^{2}h - 2Rh^{3}}[/tex]
S'(h) = [tex]\frac{\pi Rh.(4R - 3h)}{\sqrt{2Rh^{2}(2R - h)}}[/tex] Нека S'(h)[tex]\ge[/tex]0 [tex]\Rightarrow[/tex] h(4R -3h)[tex]\ge[/tex]0 от тук следва,че S(h) за h[tex]\in[/tex]( - [tex]\infty[/tex],0) - намалява и за h=0 има минимум, за h[tex]\in[/tex](0,[tex]\frac{4R}{3}[/tex]) расте и за h=[tex]\frac{4R}{3}[/tex] притежава максимум, след което за h[tex]\in[/tex]([tex]\frac{4R}{3}[/tex], +[tex]\infty[/tex]) отново намалява
Окончателно височината за която конуса има най-голяма повърхнина е h=[tex]\frac{4R}{3}[/tex]