Конкурсен изпит , СУ"Св.Кл.Охридски" 22.07.2003 г.зад.1

[S.B.]

Да се реши неравенството:
[tex]\sqrt{3^{2х + 1} - 4.3^{х} + 1} \ge 3^{х + 1} - 5[/tex]
отг. х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] , -1] [tex]\cup[/tex] [0,1]

[Петър Евгениев]

[tex]\sqrt{3^{x}.3^{x}.3^{1}-4.3^{x}+1}\ge3^{x}.3^{1}-5[/tex]
Нека [tex]3^{x}=a[/tex]
[tex]\sqrt{3a^{2}-4a+1}\ge3a-5[/tex]
ДС: [tex]\begin{array}{|l}3a^{2}-4a+1\ge 0 \\ 3a-5\ge 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a \in (- \infty;\frac{-1}{3}]\cup[1;+ \infty) \\ a\ge \frac{5}{3}\end{array}\Leftrightarrow a\ge \frac{5}{3}[/tex]
[tex][tex]\sqrt{3a^{2}-4a+1}\ge3a-5[/tex]/²
[tex]3a^{2}-4a+1\ge 9a^{2}-30a+25[/tex]
[tex]-6a^{2}+26a-24\ge0 \Leftrightarrow \frac{4}{3}\le a\le 3 \Leftrightarrow a\le3 \Rightarrow 3^{x}\le 3 \Leftrightarrow x\le 1[/tex]

Изпуснал съм когато [tex]3a-5 \le 0[/tex], Благодаря за поправката ptj ,и за пълното и лесно разбираемо решение.

[ptj]

[tex]u=3^x>0[/tex]

[tex]\sqrt{3^{2x+1}-4.3^x+1}\ge3^{x+1}-5\Leftrightarrow\sqrt{3u^2-4u+1}\ge3u-5 \Leftrightarrow\sqrt{(3u-1)(u-1)}\ge3u-5[/tex]


Дефиниционна област: [tex](3u-1)(u-1)\ge0 \Leftrightarrow u\in\big((0;\frac{1}{3}]\cup[1;+\infty)\big)[/tex]

[tex](*)[/tex]: [tex]\sqrt{(3u-1)(u-1)}\ge3u-5[/tex]

1.) При [tex]3u-5\le 0\Leftrightarrow u\le \frac{5}{3}[/tex] всяко [tex]u[/tex] от дефиниционната област изпълнява [tex](*)[/tex],

т.е. при [tex]u\in\big((0;\frac{1}{3}]\cup [1;\frac{5}{3}]\big)[/tex] неравенството [tex](*)[/tex] e изпълнено.

2.) При [tex]3u-5>0\Leftrightarrow u>\frac{5}{3}[/tex]

[tex](*)\Leftrightarrow 3u^2-4u+1\ge(3u-5)^2[/tex]

[tex]3u^2-4u+1\ge9u^2-30u+25[/tex]

[tex]3u^2-13u+12\le0[/tex]

[tex](3u-4)(u-3)\le 0 \Leftrightarrow u\in[\frac{4}{3};3][/tex]

прилагайки ограничението [tex]u>\frac{5}{3}[/tex] получаваме [tex]u \in(\frac{5}{3};3][/tex]



Обединението на 1.) и 2.) е [tex]u\in\big((0;\frac{1}{3}]\cup(1;3)\big)[/tex] [tex]\Leftrightarrow x\in\big((-\infty;-1]\cup(0;1)\big)[/tex]
(използваме, че показателната функция [tex]3^х[/tex] е растяща, защото основата и е по-голяма от единица).


П.П.
При директен запис със степени http://www.wolframalfa.com ми дава непонятен (различен) резулат, докато при запис с полагане всичко е О.К.

[S.B.]

Не оспорвам решението и въпреки,че съм дала "точка" ,нещо ме смущава в отговора. Ето защо си позволявам да покажа и моето решение.
[tex]\sqrt{3^{2х + 1} - 4.3^{х} + 1}[/tex][tex]\ge[/tex] [tex]3^{х + 1}[/tex] - 5
Нека [tex]3^{х}[/tex] = t > 0 и неравенството се трансформира в: [tex]\sqrt{3t^{2} -4t + 1}[/tex] [tex]\ge[/tex]3t -5
1)от 3[tex]t^{2}[/tex]- 4t + 1 [tex]\ge[/tex]0 и 3t - 5 < 0 получавам :3(t -1)(t -[tex]\frac{1}{3}[/tex])[tex]\ge[/tex]0 и 0 < t < [tex]\frac{5}{3}[/tex] или t[tex]\in[/tex] (0 ,[tex]\frac{1}{3}[/tex]] [tex]\cup[/tex] [1 ,[tex]\frac{5}{3}[/tex] )
3[tex]t^{2}[/tex] - 4t + 1 [tex]\ge[/tex] [tex](3t - 5)^{2}[/tex][tex]\Leftrightarrow[/tex] 3[tex]t^{2}[/tex] - 13t + 12 [tex]\le[/tex]0[tex]\Leftrightarrow[/tex](t - 3)(t - [tex]\frac{4}{3}[/tex]) [tex]\le[/tex] 0
2)От (t - 3)(t - [tex]\frac{4}{3}[/tex])[tex]\le[/tex]0, 3t - 5[tex]\ge[/tex]0 и (t -1)(t -[tex]\frac{1}{3}[/tex])[tex]\ge[/tex]0 се получава t[tex]\in[/tex] [[tex]\frac{5}{3}[/tex], 3] ; Този резултат като се засече с
t[tex]\in[/tex](0 , [tex]\frac{1}{3}[/tex]] [tex]\cup[/tex][1 , [tex]\frac{5}{3}[/tex]) се получава t[tex]\in[/tex](0,[tex]\frac{1}{3}[/tex]][tex]\cup[/tex][1 , 3] следователно : 0 < t [tex]\le[/tex][tex]\frac{1}{3}[/tex] или 0 < [tex]3^{х}[/tex][tex]\le[/tex][tex]3^{-1}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] х[tex]\le[/tex] -1;
От t[tex]\in[/tex][1 , 3] [tex]\rightarrow[/tex][tex]3^{x}[/tex][tex]\ge[/tex][tex]3^{0}[/tex] или х[tex]\ge[/tex]0 също така [tex]3^{х}[/tex][tex]\le[/tex][tex]3^{1}[/tex] или х[tex]\le[/tex]1
Окончателно : х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex],-1][tex]\cup[/tex][0,1]

[ptj]

Имам техническа грешка - втория интервал на решение е затворен от двете страни.