Конкурсен изпит , ТУ 10.07.2000 г. задача 4

[S.B.]

Да се намерят всички стойности на реалния параметър a , за всяка от които уравнението:
( а - I x - 21 I )([tex]x^{3}[/tex] - 3x - a) =0
има точно четири различни решения.

[ptj]

(1): [tex](а-|x-21|)(x^3-3x-a)=0[/tex]
Задачата е лесна, но не знам дали факта, който ще използвам се използва в училище.
Той е, че уравнение с реални коефициенти винаги има четен брой комплексни корени.
По-точно ако едно комплексмо число е корен, то неговото комплексно спрегнато също е корен.

Тогава единствения вариант да изходното уравнение да има 4 корена е множителя (а-|x-21|) да се нулира само в една точка, което е изпълнено само при [tex]а=0[/tex]. Корените на [tex](1)[/tex] са: [tex]-\sqrt{3};0;\sqrt{3};21[/tex].

Графиката на [tex]-|x-21|[/tex] са два лъча. Първия тръгва от (21;0) и минава през (-21;0), а втория му е симетричен спрямо оста [tex]x=21[/tex]. Докато графиката на (а-|x-21|) се получава от предходната чрез "шифтване" с [tex]"а"[/tex] позиции (нагоре или надолу зависи от знака на [tex]a[/tex].

[Добромир Глухаров]

$a-|x-21|=0$ има корени $x_{1,2}=21\pm a$

Първи случай: $a=0\Rightarrow a-|x-21|=0$ има един корен $x_1=21$, а $x^3-3x-a=0$ има три корена $x_2=0;\ x_3=\sqrt{3};\ x_4=-\sqrt{3}$

$f(x)=x^3-3x-a=0$

$f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)=0$

$f(-1)=2-a\to max$

$f(1)=-2-a\to min$

Ако $f(x)=0$ има един корен, даденото уравнение няма как да има четири; ако има три, 'а' трябва да е нула, за да има модулното един - това е Първи случай. Остава $f(x)=0$ да има два корена, т.е. или локалният минимум, или локалният максимум да е нула.

Втори случай: $a=2;\ x_1=23;\ x_2=19;\ x^3-3x-2=0\Rightarrow x_3=-1;\ x_4=2;\ x_5=-1=x_3$ - четири различни корена.

Трети случай: $a=-2;\ x_1=23;\ x_2=19;\ x^3-3x+2=0\Rightarrow x_3=1;\ x_4=-2;\ x_5=1=x_3$ - четири различни корена.

Други случаи май няма.

[ptj]

Добромир е прав. Аз не съобразих, че 2-ен корен ще се приеме за едно решение.

[S.B.]

Аз получих същите решения,но (без да знам със сигурност дали мога!), аз изразих 'а' като функция на х:
а(х) = [tex]x^{3}[/tex] - 3х,която изследвах по всички правила и накрая начертах графика и видях решенията при правите а=0,а=2 и а=-2;Но имам следния въпрос:
Ясно е,че се разглежда ( а - Ix - 21 I) =0 и после I x - 21I =a А това уравнение има решение за а[tex]\ge[/tex]0,но при а<0 няма решение,ето защо аз не съм зачела корените за а=-2.Но Вие ги зачитате.Аз ли греша и защо?

[ptj]

При отрицателно [tex]a[/tex] графиката на [tex](a- |x-21|)[/tex] е изцяло под абцисната ос, т.е. няма корени.

3-тия случай на Добромир е с грешен отговор.