Конкурсен изпит , СУ 25.07.2001 г.задача 1

[S.B.]

Дадено е уравнението:[tex]\sqrt{x^{2} - \frac{a}{x^{2}}}[/tex] + [tex]\sqrt{х - \frac{a}{x^{2}}}[/tex] = х , където а е реален параметър.
а) да се намерят всички стойности на "а" ,за които х=2 е корен на уравнението;
б) да се докаже,че при а=7 уравнението има единствен реален корен.

[ptj]

а.)[tex]\sqrt{4-\frac{a}{4}}+\sqrt{2-\frac{a}{4}}=2[/tex]

[tex]\sqrt{16-а}+\sqrt{8-а}=4[/tex]

Д.О.: [tex]a\le8[/tex]

[tex]24-2a+2\sqrt{(16-a)(8-a)}=4[/tex]

[tex]\sqrt{(16-a)(8-a)}=a-10[/tex]

[tex]a^2-24a-128=a^2-20a-100[/tex]

[tex]a=7[/tex] принадлежи на Д.О., сл. е решение

б.)[tex]\sqrt{x^2-\frac{7}{x^2}}+\sqrt{x-\frac{7}{x^2}}=x[/tex] , [tex](x\ne0)[/tex]

(*): [tex]\sqrt{x^4-7}+\sqrt{x^3-7}=x^2[/tex] ,
Д.О. [tex]x^3\ge7\Leftrightarrow x\ge\sqrt[3]{7}[/tex]

Очевидно [tex]x=2[/tex] e корен.

Нека [tex]f(x)=\sqrt{x^4-7}+\sqrt{x^3-7}[/tex] и [tex]g(x)=x^2[/tex]

За да има точно един корен уравнението (*) графиките на [tex]f(x)[/tex] и [tex]g(x)[/tex] трябва да се пресичат точно веднъж.

[tex]f'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4-7}}+\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3-7}}[/tex]

[tex]g'(x)=2x[/tex]

Достатъчно е да се докаже, че при [tex]x>\sqrt[3]{7}[/tex] е изпълнено [tex]g'(x)>f'(x)[/tex].

1.gif (4.63 KiB) Прегледано 485 пъти

[Петър Евгениев]

[tex]\sqrt{x^{2}-\frac{a}{x^{2}}}+\sqrt{x-\frac{a}{x^{2}}}=x[/tex]
a)всички стойности на а, за които x=2 е корен на уравнението
[tex]\sqrt{2^{2}-\frac{a}{2^{2}}}+\sqrt{2-\frac{a}{2^{2}}}=2 \Leftrightarrow \sqrt{4-\frac{a}{4}}+\sqrt{2-\frac{a}{4}}=2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{16-a}{4}}+\sqrt{\frac{8-a}{4}}=2|.2[/tex]
[tex]\sqrt{16-a}+\sqrt{8-a}=4[/tex], Допустимите стойности на това ирационално уравнение с са желаниет стойности на а
[tex]\begin{array}{|l}16-a\ge0 \\8-a\ge0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a\le16 \\ a\le8 \end{array} \Rightarrow a\in(-\infty;8][/tex]

[grav]

Допустимите стойности на това ирационално уравнение с са желаниет стойности на а

Защо допустимите стойности, а не корените? Нали за да е 2 корен на даденото уравнение трябва да имаш равенство, а не просто смислен израз.

[S.B.]

Ще си позволя да покажа и моето решение,което е съвсем простичко:
а)[tex]\sqrt{x^{2} - \frac{a}{x^{2}}}[/tex] + [tex]\sqrt{х - \frac{a}{x^{2}}}[/tex] = х Нека х=2
[tex]\sqrt{4 - \frac{a}{4}}[/tex] + [tex]\sqrt{2 - \frac{a}{4}}[/tex] = 2 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\sqrt{\frac{16 - а}{4}}[/tex] = 2 - [tex]\sqrt{\frac{8 - а}{4}}[/tex] от където а[tex]\le[/tex]8 ; Повдигам на квадрат двете страни и преработвам
и получавам: 16[tex]\sqrt{\frac{8 - а}{4}}[/tex] = 8 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2[tex]\sqrt{\frac{8 - а}{4}}[/tex] = 1; отново повдигам на квадрат и получавам:4[tex]\frac{8 - а}{4}[/tex] = 1 ,от където а=7 [tex]\in[/tex]ДМ
б) Нека а=7:[tex]\sqrt{x^{2} - \frac{7}{x^{2}}}[/tex] + [tex]\sqrt{х - \frac{7}{x^{2}}}[/tex] = х [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\sqrt{х - \frac{7}{x^{2}}}[/tex] = х - [tex]\sqrt{x - \frac{7}{x^{2}}}[/tex] Повдигам на квадрат,преработвам и получавам:
2х[tex]\sqrt{x -\frac{7}{x^{2}}}[/tex] = х, което отново повдигам на квадрат и получавам: 4[tex]x^{2}[/tex](х - [tex]\frac{7}{x^{2}}[/tex]) = [tex]x^{2}[/tex] от където 4[tex]x^{2}[/tex](х - [tex]\frac{7}{x^{2}}[/tex]) - [tex]x^{2}[/tex] = 0
[tex]x^{2}[/tex][4(х - [tex]\frac{7}{x^{2}}[/tex]) - 1] = 0 но х[tex]\ne[/tex]0 остава че 4(х - [tex]\frac{7}{x^{2}}[/tex]) - 1 = 0 след преработка :4[tex]x^{3}[/tex] - [tex]x^{2}[/tex] - 28 =0 Но знаем,че за а=7 х=2 е корен - тогава делим 4[tex]x^{3}[/tex] - [tex]x^{2}[/tex] - 28 на (х -2) и се получава :4[tex]x^{2}[/tex] + 7х +14 Или 4[tex]x^{3}[/tex] - [tex]x^{2}[/tex] -28 = (х - 2)(4[tex]x^{2}[/tex] + 7х +14) = 0 ; D на квадратния тричлен е отрицателна ,следователно х=2 е единствен корен

[ptj]

Под условие б.) може да реши по друг "хитър" начин:
(*): [tex]\sqrt{x^4-7}+\sqrt{x^3-7}=x^2[/tex] ,

Д.О. : [tex]x\ge\sqrt[3]{7}[/tex]

[tex]x=2[/tex] e корен.

1.gif (4.63 KiB) Прегледано 439 пъти

1.)При [tex]x>2[/tex] e изпълнено: [tex]\sqrt{x^4-7}>x^2-1[/tex] и [tex]\sqrt{x^3-7}>1[/tex]

2.)При [tex]x\in[\sqrt[3]{7};2)[/tex] е изпълнено: [tex]\sqrt{x^4-7}<x^2-1[/tex] и [tex]\sqrt{x^3-7}<1[/tex]