Неравенство

[S.B.]

Да се реши неравенството:
[tex]log_{0,7 }[/tex][tex]log_{2 }[/tex][tex]\frac{x^{2} - 3x -16}{x + 4}[/tex][tex]\le[/tex]0 и да се намери най-голямата стойност измежду стойностите,които функцията
y = - [tex]x^{2}[/tex] + 10x -27 приема,когато х принадлежи на множеството от решения на това неравенството.

[ptj]

[tex]log_{0,7 }[/tex][tex](log_{2 }[/tex][tex]\frac{x^{2} - 3x -16}{x + 4})[/tex][tex]\le0[/tex]
Д.О. : [tex]x\ne-4[/tex]

[tex]log_{2 }[/tex][tex]\frac{x^{2} - 3x -16}{x + 4}\ge1[/tex]

[tex]\frac{x^{2} - 3x -16}{x + 4}\ge2[/tex]

[tex]\frac{x^2-5x-24}{x+4}\ge0[/tex]

[tex]\frac{(x+3)(x-8)}{x+4}\ge0[/tex]

[tex]x\in \bigg((-4;-3]\cup[8;+\infty)\bigg)[/tex]

б.) Знаем, че графиката на [tex]f(x) = - x^{2} + 10x -27[/tex] е парабола, която е симетрична спрямо оста [tex]x=-(\frac{-10}{2.1})=5[/tex].

Освен това [tex]f(x)[/tex] е растяща при [tex]x\le5[/tex] и съответно намаляваща при [tex]x\ge5[/tex].

Тогава [tex]max\big(f(x)\big)[/tex] ще се достига при тази стойност [tex]x_0\in \bigg((-4;-3]\cup[8;+\infty)\bigg)[/tex], която се намира най-близо до върха на параболата [tex]x=5[/tex], т.е. [tex]|5-x_0|[/tex] да е минимален.

[tex]x_0=8[/tex]

[tex]f(x_0)=-x^2+10x-27=-64+80-27=-11[/tex]