Конкурсен изпит , СУ 14.07.1999 г.задача 4

[S.B.]

Дадена е функцията f(x) = x + [tex]\sqrt{x^{2} - x}[/tex]
a) Да се реши уравнението f(x) = [tex]\sqrt{2}[/tex] - 1;
б) Да се намерят всички стойности на реалните параметри a[tex]\ge[/tex] 0 и b за които уравнението
f(x) = - [tex]x^{2}[/tex] + (a - 1)x + a + b
има единствен корен x= -1

[ptj]

[tex]f(x)=x+\sqrt{x^2-x}[/tex]

[tex]D.O. : x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)[/tex]

[tex]f'(x)=1+\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}=\frac{2x-1+2\sqrt{x(x+1)}}{2\sqrt{x(x-1)}}[/tex]

при [tex]x>1[/tex] : [tex]f'(x)=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})^2-2}{2\sqrt{x(x+1)}}>0[/tex]

при [tex]x<1[/tex]: [tex]f'(x)=-\frac{-(\sqrt{-x}-\sqrt{-(x+1)})^2-2}{2\sqrt{x(x+1)}}<0[/tex]


[tex]f(x)[/tex] e намаляваща в [tex](-\infty;-1][/tex] и растяща в [tex][1;+\infty)[/tex].

[tex]f(-1)=-1+\sqrt{2}<f(1)=1[/tex] сл. [tex]f(x)=-1+\sqrt{2}[/tex] има едно единствено решение и то е [tex]x=-1[/tex].

б.) се решава наум:
[tex]-\frac{a-1}{2.(-1)}=-1\Leftrightarrow а=-1[/tex]

[tex]-x^2+(a-1)x+a+b=-x^2-2x-1+b=-(x+1)^2+b=0[/tex] има двоен корен точно когато [tex]b=0[/tex]

П.П. Подточка а.) може да реши и директно.

[S.B.]

[tex]f(x)=x+\sqrt{x^2-x}[/tex]

[tex]D.O. : x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)[/tex]

[tex]f'(x)=1+\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}=\frac{2x-1+2\sqrt{x(x+1)}}{2\sqrt{x(x-1)}}[/tex]

при [tex]x>1[/tex] : [tex]f'(x)=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})^2-2}{2\sqrt{x(x+1)}}>0[/tex]

при [tex]x<1[/tex]: [tex]f'(x)=-\frac{-(\sqrt{-x}-\sqrt{-(x+1)})^2-2}{2\sqrt{x(x+1)}}<0[/tex]


[tex]f(x)[/tex] e намаляваща в [tex](-\infty;-1][/tex] и растяща в [tex][1;+\infty)[/tex].

[tex]f(-1)=-1+\sqrt{2}<f(1)=1[/tex] сл. [tex]f(x)=-1+\sqrt{2}[/tex] има едно единствено решение и то е [tex]x=-1[/tex].

б.) се решава наум:
[tex]-\frac{a-1}{2.(-1)}=-1\Leftrightarrow а=-1[/tex]

[tex]-x^2+(a-1)x+a+b=-x^2-2x-1+b=-(x+1)^2+b=0[/tex] има двоен корен точно когато [tex]b=0[/tex]

П.П. Подточка а.) може да реши и директно.

И аз си мислех като теб,но отговорът е:а [tex]\in[/tex][ 0 , [tex]\frac{4 - \sqrt{2}}{2}[/tex]) и b=[tex]\sqrt{2}[/tex] - 1
Колкото до b - докарах го,но за a - oще го "мътя:!

[ptj]

Може би си преписала неправилно условието.

Едно квадратно уравнение има двоен корен точно когато неговата дискриминанта е 0, а то е в точката, явяваща се ос на параболата.

[S.B.]

И условието и отговорите са съвсем правилно преписани.За b получавам b=[tex]\sqrt{2}[/tex] - 1,за а - [tex]\forall[/tex]а[tex]\ge[/tex]0 и тук се разминавам с авторите.Те са дали някакво схематично решение,което цял следобед разгадавам.
Правят изследване на f(x) = x + [tex]\sqrt{x^{2} - x}[/tex] и g(x) = - [tex]x^{2}[/tex] + (a - 1)x +a +[tex]\sqrt{2}[/tex] -1 в общата част на дефиниционните им множества,защото f(x) = g(x) трябва да имат общ единствен корен = -1

[ptj]

Именно, виж какво си написала ти в условието и какво авторите.

Дадена е функцията [tex]f(x) = x + \sqrt{x^{2} - x}[/tex].
a) Да се реши уравнението [tex]f(x) = \sqrt{2} - 1[/tex];
б) Да се намерят всички стойности на реалните параметри a[tex]\ge[/tex] 0 и b за които уравнението
[tex]f(x) = - x^2 + (a - 1)x + a + b[/tex]
има единствен корен [tex]x= -1[/tex]

Вероятно коректното условие е :

Дадена е функцията [tex]f(x) = x + \sqrt{x^{2} - x}[/tex].
a) Да се реши уравнението [tex]f(x) = \sqrt{2}-1[/tex];
б) [tex]g(x) = - x^2 + (a - 1)x + a + b[/tex]
Да се намерят всички стойности на реалните параметри [tex]a\ge 0[/tex] и [tex]b[/tex],
за които [tex]g(x) = f(x)=0[/tex] имат само един общ корен [tex]x= -1[/tex].

[S.B.]

б) Да се намерят всички стойности на реалните параметри а[tex]\ge[/tex]0 и b за които УРАВНЕНИЕТО!!!
f(x) = -[tex]x^{2}[/tex] + (a - 1)x + a +b
има единствен корен х = -1
Като f(x) = x + [tex]\sqrt{x^{2} - x}[/tex]
Те разделят това уравнение на f(x) = x + [tex]\sqrt{x^{2} - x}[/tex] и g(x) = - [tex]x^{2}[/tex] + (a - 1)x +a +b
но тъй като b=[tex]\sqrt{2}[/tex] - 1 според тях,а и според мен то g(x) = - [tex]x^{2}[/tex] + (a - 1)x +a + [tex]\sqrt{2}[/tex] - 1
Та тези 2 функции изследват в общата част на дефин.им област и получават отговорите.
Къде видя несъответствие с условието?Аз поне единия от отговорите получих,но вече ми бръмна главата!!!

[ptj]

Сега го разбрах, но вече не ми се занимава.

[ева]

За а) не може [0;[tex]\frac{4-\sqrt{2}}{2}[/tex]) да е р-е.
1[tex]\in[/tex] това множ.и[tex]\in[/tex] Д.М. Правим проверка с 1-дали е р-е.
1+[tex]\sqrt{1^{2}-1}[/tex]= [tex]\sqrt{2}[/tex]-1
1= [tex]\sqrt{2}[/tex]-1
Очевидно не са равни.[tex]\Rightarrow[/tex] 1 не е р-е.

[S.B.]

За а) не може [0;[tex]\frac{4-\sqrt{2}}{2}[/tex]) да е р-е.
1[tex]\in[/tex] това множ.и[tex]\in[/tex] Д.М. Правим проверка с 1-дали е р-е.
1+[tex]\sqrt{1^{2}-1}[/tex]= [tex]\sqrt{2}[/tex]-1
1= [tex]\sqrt{2}[/tex]-1
Очевидно не са равни.[tex]\Rightarrow[/tex] 1 не е р-е.

Става въпрос за параметрите а и b от подусловие б)
Никой не твърди че х[tex]\in[/tex][0,[tex]\frac{4 - \sqrt{2}}{2}[/tex])

[grav]

Соиноста на [tex]b[/tex] се получава директно, за [tex]a[/tex] трябва да внимателно да разгледаш случайте. Уравненито е

[tex]x+\sqrt{x^2-x}+1-\sqrt2=-x^2+(a-1)x+a[/tex]

Лявата страна е растяща за [tex]x\ge1[/tex] и в този интервал не трябва да има решение. Ако върха на праболата е в ляво от [tex]x=1[/tex], то там е максимума на дясната страна (и минимума на лявата). Следователно трябва [tex]1+\sqrt{1^2-1}+1-\sqrt2\ge-1^2+(a-1).1+a[/tex] от където [tex]a\le\frac{4-\sqrt2}2[/tex].

[S.B.]

Благодаря! И понеже в условието е казано а[tex]\ge[/tex]0 ,то се получава а[tex]\in[/tex][o;[tex]\frac{4 - \sqrt{2}}{2}[/tex]) ,a директно се получава b = [tex]\sqrt{2}[/tex] - 1;Още веднъж .благодаря!