Неравенство

[S.B.]

Да се реши неравенството:
[tex]\frac{log_{2 }(x^{2} - 4x -4)^{5}}{2x^{2} - x - 3}[/tex][tex]\ge[/tex]0

[Петър Евгениев]

[tex]\frac{log_{2} (x^{2}-4x-4)^{5}}{2x^{2}-x-3}\ge 0[/tex] ДС:[tex]x^{2}-4x-4>0 \Leftrightarrow x\in (-\infty; 2-2\sqrt{2})\cup(2+2\sqrt{2};+\infty)[/tex]
[tex]log_{2} (x^{2}-4x-4)^{5}=0 \Rightarrow (x^{2}-4x-4)^{5}=1 \Leftrightarrow x^{2}-4x-4=1 \Leftrightarrow x_{1}=5 , x_{2}=-1[/tex]
[tex]2x^{2}-x-3\ne 0 \Leftrightarrow x\ne \frac{3}{2}, x\ne -1[/tex] Метод на интервалите [tex]\Rightarrow x\in (-1;\frac{3}{2})\cup [5;+\infty)[/tex]
Засичам това с ДС и получавам:[tex]x\in (-1;2-2\sqrt{2})\cup [5;+\infty)[/tex]

[S.B.]

[tex]\frac{log_{2} (x^{2}-4x-4)^{5}}{2x^{2}-x-3}\ge 0[/tex] ДС:[tex]x^{2}-4x-4>0 \Leftrightarrow x\in (-\infty; 2-2\sqrt{2})\cup(2+2\sqrt{2};+\infty)[/tex]
[tex]log_{2} (x^{2}-4x-4)^{5}=0 \Rightarrow (x^{2}-4x-4)^{5}=1 \Leftrightarrow x^{2}-4x-4=1 \Leftrightarrow x_{1}=5 , x_{2}=-1[/tex]
[tex]2x^{2}-x-3\ne 0 \Leftrightarrow x\ne \frac{3}{2}, x\ne -1[/tex] Метод на интервалите [tex]\Rightarrow x\in (-1;\frac{3}{2})\cup [5;+\infty)[/tex]
Засичам това с ДС и получавам:[tex]x\in (-1;2-2\sqrt{2})\cup [5;+\infty)[/tex]

Отговорът е:х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex], -1)[tex]\cup[/tex]( - 1 ,2 - 2[tex]\sqrt{2}[/tex])[tex]\cup[/tex]( 5 ,+[tex]\infty[/tex]) явно пропускаш нещо.Съсредоточи се!

[S.B.]

Когато частното на две числа е положително,тогава числителят и знаменателят са с еднакви знаци.Веднъж положителни и веднъж отрицателни

[Петър Евгениев]

Когато частното на две числа е положително,тогава числителят и знаменателят са с еднакви знаци.Веднъж положителни и веднъж отрицателни

Може и така, но аз по друг начин го правя, видях си грешката, ще бъде оправено до 2 3 минути.

[Петър Евгениев]

[tex]\frac{log_{2} (x^{2}-4x-4)^{5}}{2x^{2}-x-3}\ge 0[/tex] ДС:[tex]x^{2}-4x-4>0 \Leftrightarrow x\in (-\infty; 2-2\sqrt{2})\cup(2+2\sqrt{2};+\infty)[/tex](Защото 2 на каквато степен и да го дигнем ще бъде положително число)
Решавам числителя кога е нула? [tex]log_{2} (x^{2}-4x-4)^{5}=0 \Rightarrow (x^{2}-4x-4)^{5}=1 \Leftrightarrow x^{2}-4x-4=1 \Leftrightarrow x_{1}=5 , x_{2}=-1[/tex]
Знаменателя нетрябва да е нула.
[tex]2x^{2}-x-3\ne 0 \Leftrightarrow x\ne \frac{3}{2}, x\ne -1[/tex], Метод на интервалите(ГРЕШКАТА МИ ПЪРВИЯ ПЪТ: [tex]x=-1, x\ne -1[/tex],имам го четен брой пъти това, и е в знаменателя значи знака при метод на интервалите ще бъде един и същ преди и след него и при него винаги ще има закръглена скоба)Картинка
Демек [tex]x\in (-\infty;-1)\cup (-1;\frac{3}{2})\cup [5;+\infty)[/tex]
Сега вече това като го засека с ДС , става търсеният ни отговор [tex]x\in (-\infty; -1)\cup (-1;2-2\sqrt{2})\cup [5;+\infty)[/tex]
Извинявам, се за гершката, техническа грешка беше!
По начина който ти казваш, се учи 8 клас(поне аз тогава го учих, тогава решавахме така дробните неравенства, защото имахме тогава да упражняваме системите неравенства, и после в 10 клас, за да упражим квадратната функция учихме и метода на интервалите, за който така горещо пиша (по-лесно и бързо става с него според мен)!

[S.B.]

Още едно решение на дробното неравенството,в което числителят е логаритмична,а знаменателят - квадратна функция.
[tex]\frac{log_{2 }(x^{2} - 4x -4)^{5}}{2x^{2} - x - 3}[/tex][tex]\ge[/tex]0 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{5log_{2 }(x^{2} -4x -4)}{2(x + 1)(x - \frac{3}{2})}[/tex][tex]\ge[/tex]0[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{log_{2 }(x^{2} - 4x -4)}{(x + 1)(x - \frac{3}{2})}[/tex] [tex]\ge[/tex]0
Това неравенство има смисъл за х[tex]\ne[/tex]-1, x[tex]\ne[/tex]1,5 и [tex]x^{2}[/tex]- 4х -4 >0 или ДМ: х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];-1)[tex]\cup[/tex](-1; 2 - 2[tex]\sqrt{2}[/tex]][tex]\cup[/tex][2 + 2[tex]\sqrt{2}[/tex]; +[tex]\infty[/tex])
1)[tex]\begin{array}{|l} log_{2 }(x^{2} - 4x -4) \ge 0\\ (x + 1)(x - 1,5) > 0 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} x^{2}- 4x - 4\ge1 \\ (x + 1)(x -1,5) > 0 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} (x + 1)(x - 5 )\ge 0 \\ (x +1)(x - 1,5) > 0 \end{array}[/tex]
Решението на този случай е: x [tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex]; - 1)[tex]\cup[/tex][ 5 ; +[tex]\infty[/tex])
2)[tex]\begin{array}{|l} log_{2 }(x^{2} - 4x -4) \le 0\\ (x + 1)(x - 1,5) < 0 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} x^{2} - 4x -4 \le 1 \\ (x +1)(x -1,5) < 0 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l}(x + 1)(x - 5)\le 0 \\ (x + 1)(x - 1,5) < 0 \end{array}[/tex]
Решението на този случай е : х[tex]\in[/tex](-1 ; 1,5) Съвместявам ДМ с първото и второто решение:
ДМ: х [tex]\in[/tex]( -[tex]\infty[/tex] ; - 1)[tex]\cup[/tex](-1,2 - 2[tex]\sqrt{2}[/tex])[tex]\cup[/tex](2 + 2[tex]\sqrt{2}[/tex]; + [tex]\infty[/tex])
х[tex]\in[/tex]( - [tex]\infty[/tex]; -1)[tex]\cup[/tex][5 ; +[tex]\infty[/tex])
x[tex]\in[/tex](-1;1,5)
И получавам окончателния отговор: х [tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] ; -1)[tex]\cup[/tex](-1 ; 2 - 2[tex]\sqrt{2}[/tex])[tex]\cup[/tex][ 5 ; +[tex]\infty[/tex])