УАСГ - приемен изпит 13.07.2006г,зад.1

[S.B.]

Дадено е уравнението f(x)=0, където f(x)= I 3x - [tex]x^{3}[/tex]I - a и a е параметър.
а) Да се реши уравнението за а=2;
б) Да се определи броят на корените на уравнението в зависимост от а;
в) Да се намерят най-голямата и най-малката стойности на f(x) в интервала [0 , 2].

[Knowledge Greedy]

б) При [tex]a<0[/tex] уравнението [tex]f(x)=0[/tex] няма решение.
При [tex]a=0[/tex] уравнението има три корена.
При [tex]0<a<2[/tex] уравнението има 6 корена.
При [tex]a=2[/tex] корените са 4.
При [tex]a>2[/tex] уравнението има 2 корена.

[S.B.]

а)f(x)= I 3x - [tex]x^{3}[/tex]I - a =0 a=2 [tex]\Rightarrow[/tex]I 3x - [tex]x^{3}[/tex]I = 2 [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\begin{cases} (3x - x^{3})=2 \\ - ( 3x - x^{3})= 2 \end{cases}[/tex]
(3x -[tex]x^{3}[/tex])=2 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]x^{3}[/tex] - 3x + 2 = 0 [tex]\Rightarrow[/tex][tex](x - 1)^{2}[/tex](x + 2) = 0 Корените са : [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]x_{2 }[/tex] = 1 , [tex]x_{3 }[/tex]= -2;
- (3x - [tex]x^{3}[/tex]) = 2 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]x^{3}[/tex] - 3x -2 = 0 [tex]\Rightarrow[/tex][tex](x + 1)^{2}[/tex](x - 2) = 0 Корените са:[tex]x_{4 }[/tex] = [tex]x_{5 }[/tex] = -1 , [tex]x_{6 }[/tex] = 2;
б) I3x - [tex]x^{3}[/tex]I - a =0 или а = I3x - [tex]x^{3}[/tex]I Изразявам а като функция на х: а(х) = I3x - [tex]x^{3}[/tex]I или а(х)=[tex]\begin{cases} а_{1 }(х) = 3х - x^{3} \\ а_{2 }(х) = -(3х - x^{3}) \end{cases}[/tex]
След изследване на двете функции се получава:за а<0 няма решение;
За а=0 - 3 корена:-[tex]\sqrt{3}[/tex],0,[tex]\sqrt{3}[/tex]
За а=2 - 6 корена ,от които 2 двойни - или 4 различни корена
За 0< а < 2 всяка права успоредна на абцисата пресича графиките на двете функции в 6 точки (по 3 всяка графика) - т. е . има 6 корена
за а>2 всяка права успоредна на абцисата пресича графиките в 2 точки (всяка графика по веднъж)
в)Най голяма стойност в интервала х[tex]\in[/tex][0,2] e максимума на функцията - [tex]f_{max }[/tex](1) = 2 за х=1
Най-малка стойност f(0)=0 и f([tex]\sqrt{3}[/tex]) = 0

[S.B.]

Благодаря на Knowledge Greedy за вниманието! Много ми се искаше да приложа чертежа на графиките който е много красив,дори го направих с цветни моливи,но уви,не успях да "прикача" снимката!Съжалявам и приемам всякакви съвети по този въпрос!

[aifC]

Защо не можа да прикачиш снимката, досега съм нямал проблеми лично с файловете, а и софтуеър за чертане още повече би те улеснил.

[Knowledge Greedy]

Благодаря на Knowledge Greedy за вниманието! Много ми се искаше да приложа чертежа на графиките който е много красив,дори го направих с цветни моливи,но уви,не успях да "прикача" снимката!Съжалявам и приемам всякакви съвети по този въпрос!

Аз имам един пределно първичен метод, който трудно използвам от други терминали (с изключение на домашния). Имам "древен" софтуер - отпреди 20-ина тодини. Той е съвместим с Paint -а. Достатъчна оттук- нататък е технологията Copy-Paste. Картинките във формат png или gif се прикачват с лекота и с изключително ниско информационно "замърсяване" - в смисъл, че са достатъчни съвсем малко Kb.
Тази технология може да се допълни и от директни линкове, друг софтуер, употребявам понякога wolframalpha или Geogebra.
Понякога, когато много бързам, сканирам готов ръкопис с чертеж, но е сравнително рядко.