Конкурсен изпит , СУ 14.07.1999 г.задача 1

[S.B.]

Дадена е системата уравнения:
[tex]\begin{array}{|l} x^{2} +2kx - k^{2} + 2k +3 = 0 \\ y^{2} - 2y - x = 0 \end{array}[/tex],
където k е реален параметър.
а) Да се реши системата при k=2;
б) Да се намерят всички стойности на k,при които системата има точно две решения.

[Петър Евгениев]

a)[tex]k=2 \Rightarrow \begin{array}{|l}x^{2}+4x+3=0\\y^{2}-2y-x=0 \end{array}[/tex]
[tex]x^{2}+4x+3=0[/tex]
[tex]x_{1;2}=\frac{-4\pm \sqrt{16-4.3}}{2}=\frac{-4\pm 2}{2}; x_{1}=-1; x_{2}=-3[/tex]
[tex]x_{1}=-1 \Leftarrow y^{2}-2y+1=0[/tex]
[tex]y_{1;2}=\frac{2\pm \sqrt{4-4}}{2}=1[/tex]
[tex](-1;1) (-1;1)[/tex], защото 1 е двоен корен ама няма особено голямо значение...
[tex]x=-3 \Leftarrow y^{2}-2y+3=0 D<0[/tex] няма реални корени
Остава това да е решение на системата при [tex]k=2[/tex]
[tex](-1;1)[/tex]

[123a]

$(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$?

[S.B.]

$(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$?

Отговорът в сборника е: k[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] , -2) [tex]\cup[/tex](2 , +[tex]\infty[/tex]) и k= [tex]\frac{1 - \sqrt{7}}{2}[/tex]

[123a]

[tex]\begin{array}{|l} x^{2} +2kx - k^{2} + 2k +3 = 0 (1) \\ y^{2} - 2y - x = 0 (2) \end{array}[/tex]

За да има системата две решения,то ни трябват две наредени двойки. Нека разгледаме уравнение (2) от системата. За да име две решения,то неговата Д трябва да е строго положителна т.е $x>-1$. Сега се връщаме в (1). Тук ще искаме първото уравнение да има точно един корен по-голям от -1. По този начин (1) има един корен, удовлетворяващ условието (2) да има два корена и от тук имаме две решения на системата. Ако (1) имаше два корена по-големи от -1, тогава щяхме да имаме 4 решения.

От горните разсъждения извеждаме условието $f(-1)<0$ за първото уравнение. От тук $k^2-4>0=> k\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$

[123a]

$(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$?

Отговорът в сборника е: k[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] , -2) [tex]\cup[/tex](2 , +[tex]\infty[/tex]) и k= [tex]\frac{1 - \sqrt{7}}{2}[/tex]

Да,трябва да се разгледа и D=0 на първото уравнение.

[123a]

$(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$?

Отговорът в сборника е: k[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] , -2) [tex]\cup[/tex](2 , +[tex]\infty[/tex]) и k= [tex]\frac{1 - \sqrt{7}}{2}[/tex]

Допълнение:

Д на първото уравнение е $4(2k^2-2k-3)$ с корени $ \frac{1\pm\sqrt{7}}{2}$ Ако тя е 0, значи (1) има двоен корен,равен на $-k$. Ако $k=\frac{1+\sqrt{7}}{2}$ то (1) няма корен по-голям от -1 и отхвърляме този случай. Ако пък $k=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$, то (1) има двоен корен по-голям от -1, което удовлетворява условието от (2).

Окончателно:

[tex]k\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] , -2) [tex]\cup[/tex](2 , +[tex]\infty[/tex]) и [tex]k=\frac{1 - \sqrt{7}}{2}[/tex]

[S.B.]

Благодаря на Петър Евгениев и 123а! Бих желала да представя и моето решение.
а)[tex]\begin{array}{|l}x^{2} + 2kx - k^{2} + 2k + 3 = 0 \\y^{2} - 2y -x = 0 \end{array}[/tex] за k=2 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l}x^{2} +4x +3 = 0 (1) \\ y^{2} - 2y -x= 0 (2) \end{array}[/tex] уравнение (1) има корени :[tex]x_{1 }[/tex]= -3 и [tex]x_{2 }[/tex] = -1;
За [tex]x_{1 }[/tex] = -3 уравнение (2) няма реални корени, а за [tex]x_{2 }[/tex] = -1 - има двоен корен y=1
или за k=2 системата има единствено решение (-1;1)
б)От подточка а) се вижда,че броя на решенията на уравнение (2) зависят от решенията на уравнение (1),тъй като D на уравнение (2) зависи от корените на уравнение (1),а именно:D= 4 +4x = 4(1+x).За да има два реални корена [tex]y_{1 }[/tex][tex]\ne[/tex][tex]y_{1 }[/tex] е необходимо D>0 или 1 + х >0 от където х>-1;За да имаме точно две решения на системата е необходимо уравнение (1) да има единствен корен,т.e . D=0 или D = 2[tex]k^{2}[/tex] - 2k - 3 =0 ,което е изпълнено за [tex]k_{1 }[/tex] = [tex]\frac{1 - \sqrt{7}}{2}[/tex] < 1 и [tex]k_{2 }[/tex] = [tex]\frac{1 + \sqrt{7}}{2}[/tex] > 1,Също така единственият корен трябва да е х > -1 ;
Нека f(x)= [tex]x^{2}[/tex] + 2kx - [tex]k^{2}[/tex] + 2k +3=0 oт условието х > -1 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} f( - 1) < 0 \\ -1 < -\frac{b}{2a} \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} 1 - 2k - k^{2} + 2k +3 < 0 \\ - 1 < -\frac{2k}{2} \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} (2 + k)(2 - k) < 0 \\ k < 1 \end{array}[/tex] от където окончателно: k[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] , -2) [tex]\cup[/tex] (2 , +[tex]\infty[/tex]) и k= [tex]\frac{1 - \sqrt{7}}{2}[/tex]

[123a]

}
Нека f(x)= [tex]x^{2}[/tex] + 2kx - [tex]k^{2}[/tex] + 2k +3=0 oт условието х > -1 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} f( - 1) < 0 \\ -1 < -\frac{b}{2a} \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} 1 - 2k - k^{2} + 2k +3 < 0 \\ - 1 < -\frac{2k}{2} \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} (2 + k)(2 - k) < 0 \\ k < 1 \end{array}[/tex] от където окончателно: k[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] , -2) [tex]\cup[/tex] (2 , +[tex]\infty[/tex]) и k= [tex]\frac{1 - \sqrt{7}}{2}[/tex]

Мисля че изискването $\frac{-b}{2a}>-1$ е излишно. Достатъчно условие числото -1 да е между корените на кв. уравнение е $af(-1)<0$. Така както сте го записали Вие, решението на системата е $k<-2$

[S.B.]

Mисля,че е върхът на параболата [tex]\frac{-b}{2a}[/tex] е по-голям от -1.
-1 < -[tex]\frac{b}{2a}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] -1 < - [tex]\frac{2k}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] - 1 < -k или 1>k и понеже за k получих 2 отговора :
k= [tex]\frac{1 - \sqrt{7}}{2}[/tex] =-0,82< 1 и k=[tex]\frac{1 + \sqrt{7}}{2}[/tex]= 1,82 >1,които са стойности за k при които D=0 за това към k[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex]; -2)[tex]\cup[/tex](2 ; +[tex]\infty[/tex]) прибавям и k=[tex]\frac{1 - \sqrt{7}}{2}[/tex]
Мисля,че -0,82>-2