Показателно уравнение

[S.B.]

Да се реши уравнението:
[tex](\sqrt{3 + \sqrt{2}})^{x^{2} + х}[/tex] - 3 [tex](\sqrt{3 - \sqrt{2}})^{x^{2} + х}[/tex] = -2.[tex]3^{\frac{x^{2} + х}{2}}[/tex]
Отг. [tex]x_{1 }[/tex]= 0 и [tex]x_{2 }[/tex] = -1

[S.B.]

Това е уравнение от вида :а.[tex]А^{f(x)}[/tex] + b.[tex]B^{f(x)}[/tex] = c.[tex]C^{f(x)}[/tex] където A >0,B >0,C >0;
Има 2 вида: 1) а.b >0 ,C[tex]\notin[/tex](A,B) и 2) a.b<0 , C[tex]\in[/tex](A,B)
решаването им се основава на свойствата на показателната функция.Нашето уравнение е от 2-рия вид.
[tex](\sqrt{3 + \sqrt{2}})^{x^{2} +х}[/tex] - 3[tex](\sqrt{3 - \sqrt{2}})^{x^{2} + х}[/tex] = - 2.[tex]3^{\frac{x^{2} + х}{2}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](3 + \sqrt{2})^{\frac{x^{2} + х}{2}}[/tex] - 3.[tex](3 - \sqrt{2})^{\frac{x^{2} + х}{2}}[/tex] = -2.[tex]3^{\frac{x^{2} + х}{2}}[/tex]
Нека [tex]\frac{x^{2} + х}{2}[/tex] = y и тогава получаваме:[tex](3 + \sqrt{2})^{y}[/tex] - 3.[tex](3 - \sqrt{2})^{y}[/tex] = -2.[tex]3^{y}[/tex]
Делим 2 -те страни на [tex]3^{y}[/tex][tex]\ne[/tex] 0 и се получава : [tex](\frac{3 + \sqrt{2}}{3})^{y}[/tex] - 3.[tex](\frac{3 - \sqrt{2}}{3})^{y}[/tex] = -2
Очевидно y=0 е корен на уравнението,защото :[tex](\frac{3 + \sqrt{2}}{3})^{0}[/tex] - 3.[tex](\frac{3 - \sqrt{2}}{3})^{0}[/tex] = 1 - 3.1 = -2 Остава да докажем ,че y=0 e единствен корен.Нека допуснем,че съществува p<y=0 ,такова,че p e корен на уравнението:
[tex]\frac{3 + \sqrt{2}}{3}[/tex] > 1 [tex]\rightarrow[/tex] функцията е растяща и за p<y=0 имаме [tex](\frac{3 + \sqrt{2}}{3})^{p}[/tex] < 1 ;
[tex]\frac{3 - \sqrt{2}}{3}[/tex] < 1 [tex]\rightarrow[/tex] функциятa e намаляваща и за p<y=0 имаме [tex](\frac{3 - \sqrt{2}}{3})^{p}[/tex] >1
Тогава:[tex](\frac{3 + \sqrt{2}}{3})^{p}[/tex] - 2.[tex](\frac{3 - \sqrt{2}}{3})^{p}[/tex] < -2 [tex]\rightarrow[/tex] не съществува корен p < y=0;
Да допуснем,че съществува корен q>y=0:тогава [tex](\frac{3 + \sqrt{2}}{3})^{q}[/tex]>1 и [tex](\frac{3 + \sqrt{2}}{3})^{q}[/tex] < 1 (поради монотонноста им) и тогава : [tex](\frac{3 + \sqrt{2}}{3})^{q}[/tex] - 2.[tex](\frac{3 - \sqrt{2}}{3})^{q}[/tex]> -2 т. е. не съществува и корен по-голям от y.Остава,че y е единствен корен на уравнението.
Но y=[tex]\frac{x^{2} + x}{2}[/tex] и y=0 следователно [tex]x^{2}[/tex] + х = 0 или [tex]x_{1 }[/tex] = 0 и [tex]x_{2 }[/tex] = -1
Дано не съм "оплескала" нещо!