Тригонометрична задача

[hyulia]

отговор: [tex]\pi[/tex] върху 2.
Може ли да ми помогнете с тази задача?

[KOPMOPAH]

$\sqrt{1+\cos 4x}.\sin x=2 \sin \frac {\pi}4$
Като се има предвид, че $\sin \frac {\pi}4=\frac {\sqrt 2}2$ за $\forall x$, както и че $1+\cos 4x=2 \cos^2 2x$ за $\forall x$, в това число и за $x \in (-\pi; \pi)$ уравнението се превръща в
$\sqrt{2\cos^2 2x}.\sin x=2.\frac {\sqrt 2}2=\cancel{2}.\frac {\sqrt 2}{\cancel{2}}=\sqrt 2$
$\sqrt{\cos^2 2x}.\sin x=1$
$|\cos 2x|.\sin x=1$
Тъй като $\cos 2x \le 1$ И $\sin x \le 1$, за да бъде произведението им равно на $1$, трябва И двете да са равни по модул на $1$
Трябва да се решат две системи:
$\begin{array}{|l}|\cos 2x| = -1 \\ \sin x=-1\end{array}$
и
$\begin{array}{|l} |\cos 2x| = 1 \\\sin x=1 \end{array}$
Първата система е безсмислена, тъй като $|\cos 2x|$ ВИНАГИ е неотрицателен.
Втората система пък се разделя от своя страна на две други:
$\begin{array}{|l} \cos 2x = -1 \\ \sin x=1\end{array}$, откъдето $x=\frac {\pi}2+2k\pi$, съответно $x=\frac {\pi}2 \in $ ДМ
и
$\begin{array}{|l} \cos 2x = 1 \\ \sin x=1\end{array}$, откъдето $x=-\frac {\pi}2+2k\pi$, но това решение $\cancel {\in}$ ДМ

Окончателно $x=\frac {\pi}2$