Конкурсен изпит , ВСУ "Л.Каравелов" - София, 25.07.2008 г.

[S.B.]

Дадена е функцията f(x) = [tex]x^{2}[/tex] - (m - 2)x + (m + 2),където m е реален параметър.Да се намерят стойностите на m,при които:
а) корените на уравнението f(x) = 0 са по- големи от (-1);
б) е в сила неравенството [tex]\frac{x_{1 }^{2} + x_{2 }^{2}}{x_{1 }.x_{2 }}[/tex][tex]\le[/tex]2, където [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] са реалните корени на уравнението f(x) = 0.

[Петър Евгениев]

а)[tex]f(x)=x^{2}-(m-2)x+(m+2)[/tex] ако, [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex], са корените и [tex]x_{1}<x_{2}[/tex]
[tex]-1<x_{1}\le x_{2} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}D\ge 0\\ f(-1)>0 \\ \frac{-b}{2a}>-1 \end{array}[/tex]
[tex]I.) D\ge 0 \Leftarrow D=(m-2)^{2}-4(m+2)=m^{2}-4m+4-4m-8=m^{2}-8m-4\ge 0[/tex]
[tex]m_{1;2}=\frac{8\pm \sqrt{64+4.4}}{2}=\frac{8\pm \sqrt{8.8+4.4}}{2}=\frac{8\pm \sqrt{2.2.4.4+4.4}}{2}=\frac{8\pm \sqrt{4.4(2.2+1)}}{2}=4\pm 2\sqrt{5}[/tex]
[tex]m\in(-\infty; 4-2\sqrt{5}]\cup [4+2\sqrt{5};+\infty)[/tex]
[tex]II.)f(-1)>0 \Leftrightarrow 1.(1-(m-2)(-1)+m+2)>0 \Rightarrow 1+m-2+m+2>0[/tex]
[tex]2m>-1 \Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]III.)\frac{-b}{2a}>-1 \Leftrightarrow \frac{m-2}{2}>-1 \Leftrightarrow m-2>-2 \Rightarrow m>0[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m\in(-\infty; 4-2\sqrt{5}]\cup [4+2\sqrt{5};+\infty) \\ m>-\frac{1}{2} \\ \ m>0 \end{array} \Leftrightarrow m\ge (4+2\sqrt{5})[/tex]

[S.B.]

Можеше да го запишеш и по-елегантно: m[tex]\in[/tex][4 + 2[tex]\sqrt{5}[/tex]; +[tex]\infty[/tex]),но важното е,че е вярно!

[Петър Евгениев]

Така е. За второто, получавам това:[tex]m\in (-\infty ;-2)\cup[4-2\sqrt{5};4+2\sqrt{5}][/tex]

[S.B.]

Така е. За второто, получавам това:[tex]m\in (-\infty ;-2)\cup[4-2\sqrt{5};4+2\sqrt{5}][/tex]

Отговорът е: m [tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];-2)[tex]\cup[/tex]{4, - 2[tex]\sqrt{5}[/tex]}[tex]\cup[/tex]{4 + 2[tex]\sqrt{5}[/tex]}

[ева]

Петър,в б) сигурно си пропуснал да добавиш изискването D[tex]\ge[/tex]0 ,за да има ур-то f(х)=0 реални корени.
За бърза проверка на отг. си можеш да заместиш m с 0 ,(която е в отг. ти) и да видиш какво ще стане с ур-то f(х)=0.

[Петър Евгениев]

Петър,в б) сигурно си пропуснал да добавиш изискването D[tex]\ge[/tex]0 ,за да има ур-то f(х)=0 реални корени.
За бърза проверка на отг. си можеш да заместиш m с 0 ,(която е в отг. ти) и да видиш какво ще стане с ур-то f(х)=0.

Да това е, благодаря!
[tex]f(x)=x^{2}-(m-2)x+(m+2)[/tex]
б)[tex]\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}\le 2[/tex]
Най-важното бях изпуснал, за да има корени първо [tex]D\ge 0[/tex] от а) използвам наготово, защото съм го намерил
[tex]m\in (-\infty; 4-2\sqrt{5}]\cup [4+2\sqrt{5};+\infty)[/tex], Сега вече каквото получа след като решавам ще го сложа в система с това условие.
[tex]\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}\ge 2[/tex]
Формулите на Виет.
[tex]x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}[/tex]
[tex]x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}[/tex]
Повдигам на квадрат сбора на корените, за да получа числителя [tex]\Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}}[/tex]
[tex]x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{2c}{a}=\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}[/tex]
[tex]\frac{\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}}{\frac{c}{a}}\le 2[/tex]
[tex]\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}\frac{a}{c}\le 2[/tex]
[tex]\frac{b^{2}-2ac}{ac}-2\le 0[/tex]
[tex]\frac{b^{2}-4ac}{ac}\le 0 \Rightarrow \frac{m^{2}-8m-4}{m+2}\le 0 \Rightarrow m\in (-\infty;-2)\cup [4-2\sqrt{5};4+2\sqrt{5}][/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m\in (-\infty; 4-2\sqrt{5}]\cup [4+2\sqrt{5};+\infty) \\ m\in (-\infty;-2)\cup [4-2\sqrt{5};4+2\sqrt{5}] \end{array} \Rightarrow m\in (-\infty; -2)\cup [4-2\sqrt{5}]\cup [4+2\sqrt{5}][/tex]