Конкурс , ВСУ "Л.Каравелов" - София, 25.07.2008 г.зад.3

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC,в който [tex]\angle[/tex]С = 90[tex]^\circ[/tex],АС=3,ВС=4.Външно за триъгълника е построен квадрат ABMN,с център О.Да се намерят:
а)Дължината на отсечката CO;
б)Синуса на ъгъла между CO и AB и дължините на отсечките,на които CO дели AB.

[Петър Евгениев]

а)За CO получих [tex]CO=\frac{7\sqrt{2}}{2}[/tex]

[S.B.]

а)За CO получих [tex]CO=\frac{7\sqrt{2}}{2}[/tex]

Да,CO=[tex]\frac{7\sqrt{2}}{2}[/tex].Но добре ще е да го разпишеш.

[Петър Евгениев]

а)За CO получих [tex]CO=\frac{7\sqrt{2}}{2}[/tex]

Да,CO=[tex]\frac{7\sqrt{2}}{2}[/tex].Но добре ще е да го разпишеш.

Готово
Нека [tex]\angle CAB= \alpha[/tex], от квадрата имаме: [tex]\angle OAB=45^\circ[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle AOB[/tex], AB=5 (от условието двата катета са 3,4 значи хипотенузата е 5, Питагорова тройка, или Питаговора теорема)
Питагорова теорема за [tex]\triangle AOB[/tex]
[tex]5^{2}=AO^{2}+BO^{2}[/tex] , но AO=BO
[tex]25=2AO^{2} \Rightarrow AO=BO=\frac{5\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]\angle CAO=(\alpha +45^\circ)[/tex]
Отделно имам от правоъгълния триъгълник [tex]cos\alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}[/tex]
[tex]cos(\alpha+45^\circ)=cos \alpha.\frac{\sqrt{2}}{2}-sin \alpha.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{3}{5}-\frac{4}{5})=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{-1}{5}=\frac{-\sqrt{2}}{10}[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle CAO[/tex]
[tex]AC=3,AO=\frac{5\sqrt{2}}{2}, cos\alpha =\frac{-\sqrt{2}}{10}[/tex]
Косинусова теорема за [tex]\triangle CAO[/tex]
[tex]CO^{2}=3^{2}+(\frac{5\sqrt{2}}{2})^{2}-\frac{\cancel{2}.3.5.\sqrt{2}}{\cancel{2}}.\frac{-\sqrt{2}}{10}[/tex]
[tex]CO^{2}=9+\frac{25.\cancel{2}}{\cancel{4}}+\frac{3.\cancel{5}.\cancel{2}}{\cancel{10}}[/tex]
[tex]CO^{2}=9+\frac{25}{2}+3[/tex]
[tex]CO^{2}=\frac{49}{2} \Leftrightarrow CO=\frac{7\sqrt{2}}{2}[/tex]

[KOPMOPAH]

Май и друг път е ставало дума, че е добре геометричните задачи да са съпроводени и с чертежи

Л.Каравелов 2008.png (11.56 KiB) Прегледано 421 пъти

Ще нахвърлям по-нататъшните стъпки.
Ъглите $\measuredangle ACB$ и $\measuredangle AOB$ са прави, следователно около $AOBC$ може да се опише окръжност. Дъгите $AO$ и $OB$ са равни (ясно защо), следователно $\measuredangle ACO=\measuredangle OCB$ и $CO$ се явява ъглополовяща за ъгъл $\measuredangle ACB$. Използвайки свойствата на ъглополовящата, намираме отсечките, на които тя дели страната $AB$, в случая $\frac {15}7$ и $\frac {20}7$
Синусът на търсения ъгъл е равен на косинуса на ъгъла между $CO$ (ъглополовяща) и $CH$ (височина за $\triangle ABC$). Дължината на ъглополовящата е $l^2=3.4-\frac {15}7.\frac {20}7$, откъдето $l=\frac {12\sqrt 2}7$, а на височината $CH=\frac{3.4}5=\frac{12}5$, следователно търсеният косинус (и, съответно, синусът от задачата) е $\frac {\frac{12}5}{\frac {12\sqrt 2}7}=\cdots$

[S.B.]

Аз също имам своето решение,което по-различно от прекрасното решение на КОРМОРАН!Смятам обаче ,да използвам означенията от чертежа му,тъй като не мога да прикрепя чертеж(Признавам!!!),и разчитам на това,че КОРМОРАН е достатъчно благороден ,за да се разсърди! Ще използвам и отговора на Петър Евгениев, че CO = [tex]\frac{7\sqrt{2}}{2}[/tex]за да не се пише едно и също нещо по два пъти
[tex]S_{AOBC }[/tex] = [tex]S_{AOB }[/tex] + [tex]S_{ABC }[/tex] = [tex](\frac{5\sqrt{2}}{2})^{2}[/tex].[tex]\frac{1}{2}[/tex] + [tex]\frac{3.4}{2}[/tex] =[tex]\frac{49}{4}[/tex] но [tex]S_{AOBC }[/tex] = [tex]\frac{AB.OC}{2}[/tex].sin[tex]\varphi[/tex] ,където [tex]\varphi[/tex] е ъгъла между AB и OC
[tex]\frac{5.7\sqrt{2}}{4}[/tex]. sin[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{49}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{7\sqrt{2}}{10}[/tex]
Около AOBC може да се опише окръжност,понеже [tex]\angle[/tex]ABC =90[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]AOB = 90[tex]^\circ[/tex]
Нека AB пресича ОС в т.Р;Тогава за [tex]\triangle[/tex]АОР имаме:[tex]\angle[/tex]АРО = [tex]\varphi[/tex];[tex]\angle[/tex]АОР=[tex]\angle[/tex]АВС = [tex]\beta[/tex] (защото се измерват с една и съща дъга АС) Тогава:[tex]\frac{АР}{sin\beta}[/tex] = [tex]\frac{AO}{sin\varphi}[/tex] но от [tex]\triangle[/tex]АВС sin[tex]\beta[/tex] = [tex]\frac{3}{5}[/tex] и получаваме :[tex]\frac{АР}{\frac{3}{5}}[/tex] = [tex]\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
АР = [tex]\frac{15}{7}[/tex] ,а РВ = АВ - АР = 5 - [tex]\frac{15}{7}[/tex] = [tex]\frac{20}{7}[/tex]