Стериометрия

[gabrinka]

Здравейте! Ще бъда много благодарна, ако може да ми обясните чертежа на следната задача и някой съвет да ми дадете, защото чертежът понякога е доста объркващ или условието подвеждащо. Не ми се отдава много чертането, затова и моля за съдействие особено за ъглите :Д

Основата на триъгълна пирамида MABC е правоъгълен триъгълник ABC с катет BC = a и ъглополовяща на правия ъгъл CK=l. Околната стена, минаваща през хипотенузата, е перпендикулярна на равнината на основата, а всяка от другите две ок. стени образува с равнината на основата ъгъл α. Търси се обемът.

[Knowledge Greedy]

Здравейте!
... и някой съвет да ми дадете, защото чертежът понякога е доста объркващ или условието подвеждащо.

Ако чертежът е объркващ, ще го избегнем.

Обемът на пирамидата е [tex]V=\frac{1}{3}B.H[/tex],
където [tex]B[/tex] e лицето на основата.
Връзка на ъглополовящата с катетите, ни дава формулата [tex]l_c=\frac{2ab}{a+b}cos\frac{\gamma}{2}[/tex], с чиято помощ откриваме
[tex]b=\frac{al}{a\sqrt{2}-l}[/tex] и лицето на основата [tex]B \,\ = S_{ABC}=\frac{a^2l}{2(a\sqrt{2}-l)}[/tex]

Височината [tex]H[/tex] на пирамидата ще открием, ако изясним къде лежи тя. Очевидно е в тази стена, която е перпендикулярна на основата.
Четем внимателно

Здравейте!
... Околната стена, минаваща през хипотенузата, е перпендикулярна на равнината на основата, ... .

Следователно височината [tex]MN[/tex] на [tex]\triangle ABM[/tex] е точно височина на нашата пирамида.

Как да използваме последните данни -

Здравейте! ...
, а всяка от другите две околни стени образува с равнината на основата ъгъл [tex]\alpha[/tex]. ...

[tex]\angle ((ACM), (ABC)) = \angle ((BCM), (ABC)) = \alpha[/tex]
- като знаем къде да измерим тези ъгли.
Първо изясняваме в коя права се пресичат двете равнини. И без да гледаме чертежа, е ясно, че околната стена [tex]\triangle BCM[/tex] пресича равнината на основата [tex](ABC)[/tex] в правата [tex]BC[/tex] - ([tex]BC[/tex] е и в едната и и вдругата) тази права наричаме пресечница на двете равнини.
Ъгълът се образува от два перпендикуляра към [tex]BC[/tex] единият лежи в едната равнина - [tex](ABC)[/tex], другият - в другата [tex](BCM)[/tex].
И човек като гледа [tex]\triangle BCM[/tex] му се иска това да е височината [tex]MK[/tex] на триъгълника [tex]\triangle BCM[/tex]
- точката [tex]K \in BC[/tex].
А ако човек погледне от високо основата [tex]\triangle ABC[/tex] веднага разбира още два факта - защо [tex]N[/tex] съвпада с [tex]L[/tex] и защо [tex]LK \bot BC[/tex].
Така изяснихме защо [tex]\angle LKM = \angle ((BCM), (ABC)) = \alpha[/tex]

За gabrinka 1.png (7.93 KiB) Прегледано 375 пъти

По същия начин разглеждаме височината [tex]MT[/tex] на триъгълника (околната стена)[tex]\triangle ACM[/tex] и изясняваме, че [tex]LT \bot AC[/tex] и [tex]\angle LTM = \angle ((ACM), (ABC)) = \alpha[/tex]

За gabrinka 2.png (9.22 KiB) Прегледано 375 пъти

Не е трудно в равнината на основата да установим, че [tex]LKCT[/tex] е квадрат (все пак CL е ъглополовяща на прав ъгъл, с всичките ѝ свойства, нали?). Следователно [tex]LK=l/\sqrt{2}[/tex] и с помощта на функцията тангенс в правоъгълния [tex]\triangle LKM[/tex] (може и от другия - [tex]\triangle LTM[/tex]) намираме [tex]\frac{H}{l/\sqrt{2}}=tg\alpha[/tex]
и оттук обема [tex]V=\frac{1}{6}\frac{a^2l^2}{(2a-l\sqrt{2})}tg\alpha[/tex]

[gabrinka]

Благодаря много! Разбрах я