Задача с параметър 1

[milen]

Здравейте, последните дни съм на вълна параметри и успях да открия много хубави задачи, за жалост обаче нямам отговорите. Ще се равам да ми проверите дотук разсъжденията
така при първия случай, когато Д ни е нула намирам стойността на параметъра а, сега трябва ли да замествам с получената стойност на а?

[Davids]

a) Няма нищо за заместване, трябва малко мисловен анализ, преди да правиш сметките Така, ясно е, че първо ще положим $t = 2^x > 0$ и ще достигнем до $t^2 - 2(a + 1)t + 4a = 0$
Сега идва момента на съобразяването - при кои стойности на параметъра има само едно решение $x$ не уравнението (важно е да съобразиш разликата между решения на уравнението за $t$ и за $x$). Та, единият случай, разбира се, е при единствено $t$ (и то положително) - тогава търсим нулевата дискриминанта и проверяваме върхът на параболата да е при $t > 0$. Следователно имаме:
[tex]\begin{array}{|l} D = 4(a^2 + 2a + 1) - 16a = 4(a^2 - 2a + 1) = 4(a-1)^2 = 0 \\ t_0 = a + 1 > 0 \end{array}[/tex]
От първото уравнение имаме $a = 1$, a от неравенството имаме $a > -1$ и решение остава $a = 1$

Уловката в задачата е обаче по-скоро да се сетиш и за факта, че $t > 0$ още от полагането, следователно единствено решение $x$ имаме и тогава, когато само едно $t$ е положително, а другото - отрицателно. Достатъчно условие е нулата да се намира между двата корена на абсцисата:
$f(0) = 4a < 0 \Rightarrow a < 0$
И окончателното решение е $a \in (\-infty; 0) \cup \Big{ 1\Big}$

П.П.: Аналогичен подход важи и за втората подточка, може да пробваш сам

П.П.: Коригирах решението след забележката на 123а, благодаря за което!

[123a]

a) Няма нищо за заместване, трябва малко мисловен анализ, преди да правиш сметките Така, ясно е, че първо ще положим $t = 2^x > 0$ и ще достигнем до $t^2 - 2(a - 1)t + 4a = 0$
Сега идва момента на съобразяването - при кои стойности на параметъра има само едно решение $x$ не уравнението (важно е да съобразиш разликата между решения на уравнението за $t$ и за $x$). Та, единият случай, разбира се, е при единствено $t$ (и то положително) - тогава търсим нулевата дискриминанта и проверяваме върхът на параболата да е при $t > 0$. Следователно имаме:
[tex]\begin{array}{|l} D = 4(a^2 - 2a + 1) - 16a = 4(a^2 - 6a + 1) = 0 \\ t_0 = a - 1 > 0 \end{array}[/tex]
От първото уравнение имаме две решения: $a = 3 \pm 2\sqrt{2}$, но тъй като от неравенството получаваме $a > 1$, то само $a = 3 + 2\sqrt{2}$ остава решение за случая.

Уловката в задачата е обаче по-скоро да се сетиш и за факта, че $t > 0$ още от полагането, следователно единствено решение $x$ имаме и тогава, когато само едно $t$ е положително, а другото - отрицателно. Достатъчно условие е нулата да се намира между двата корена на абсцисата:
$f(0) = 4a < 0 \Rightarrow a < 0$
Окончателно решение е $a \in (-\infty; 0) \cup \big\{3 + 2\sqrt{2}\big\}$


П.П.: Аналогичен подход важи и за втората подточка, може да пробваш сам

Оправи уравнението след полагането и пробвай пак.

[Davids]

Хич не съм го забелязал, благодаря за забележката. Изчистих решението От телефон съм, надявам се да няма отново някакви неточности...

[123a]

Хич не съм го забелязал, благодаря за забележката. Изчистих решението От телефон съм, надявам се да няма отново някакви неточности...

Я пробвай с a=1

[Davids]

Хич не съм го забелязал, благодаря за забележката. Изчистих решението От телефон съм, надявам се да няма отново някакви неточности...

Я пробвай с a=1

Дап, забравил бях да променя минуса на плюс при върха на параболата при първата поправка. Май го назландисах вече

[milen]

много благодаря! Вече нещата са ми по-ясни

[ева]

б) отг.[tex]\frac{25}{4}[/tex]

Скрит текст: покажи

Толкова лесни задачи ли дават сега